Algorithm 多项式最小不动点的有效计算

设p（x）表示所讨论的多项式。P的最小不动点（LFP）是x的最小值，因此x=P（x）。多项式具有实系数。一般来说，没有人保证LFP会存在，尽管如果学位是奇数，则可以保证存在LFP≥ 3.如果度为3，我知道一个有效的解决方案。x=P（x），因此0=P（x）-x。有一个封闭形式的立方公式，求解x有点琐碎，可以硬编码。2级和1级同样容易。我遇到的问题是更复杂的情况，因为我似乎无法想出一个好的任意程度的算法

编辑：

我只考虑实不动点，取其中最小的，不一定是绝对值最小的不动点。

用你最喜欢的数值方法求解

f（x）=p（x）-x

。例如，您可以迭代

x_{n + 1} = x_n - P(x_n) / (P'(x_n) - 1).

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一般来说，你找不到闭式公式，因为。因此，对于五次和更高阶，你必须使用某种数值方法。

这个问题试图找到多项式的“最小”（这里我不确定你指的是大小还是实际上最小，可能是最负的）根。对于高次多项式没有封闭形式的解，但是有无数的数值方法来求根

通常情况下，这是一个开始搜索的好地方

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如果你想找到最小的根，那么你可以使用来确定它存在的区间，然后使用一些数值方法来找到该区间的根。

因为你想要最小的不动点，你不能不找到p（x）-x的所有实根并选择最小的

求多项式的所有根是一个棘手的问题。如果你有一个黑匣子例程，那么一定要使用它。否则，考虑以下技巧：

• P（x）-x的形式M
• 求M的所有特征值

但这要求您能够访问查找特征值的例程（这是另一个棘手的问题，但有很多好的库）

否则，您可以实现算法，这是一段非常重要的代码

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我并不建议你去寻找一个零（比如牛顿法），直到你达到一级：如果做得不好，它是非常不稳定的，你会失去很多准确性（用它来处理多重根是非常困难的）。正确的方法实际上是上面提到的Jenkins-Traub算法。

你说的“最小”是指绝对值吗？我认为这属于理论计算机科学。你是否仅限于多项式？求任意函数的根不是一件小事，但我认为一般多项式有很好的解决方案。@Suraj Chandran:这不是理论上的计算机科学。@PengOne No。我只考虑实不动点并取其中的最小值。但这如何保证找到最小不动点呢？仅仅找到任意一个是不够的。你需要找到所有的零，然后选择最小的。这不是小事，因为你必须确定有多少个零是复杂的。@Greogry Nisbet:不是。但是一旦你找到了一个，比如说

p

，你就可以运行一些根查找方法，在

（-p，p）

中搜索根。最小并不意味着“最小绝对值”。@Gregory Nisbet:哦，那么你想要最小的实不动点吗？“我真的不建议找一个零（比如牛顿法）“我知道，如果多项式是一个黑匣子，就会出现这种情况，但如果你能轻松地检查多项式的定义，我不明白为什么求根过程+多项式除法是一个糟糕的主意（假设它存储为real列表）.据我所知，牛顿的方法具有非常快的收敛速度等。我不怀疑你说的话，但我很难理解原因。@Gregory:通货紧缩是不稳定的，过程会失去准确性。即使是中次多项式，你也会失去足够的精度来找到错误/不存在的根。还有，找到多个根牛顿法的s肯定会失败：（x-a）^n在| x-a | ~epsilon时近似为epsilon^n，因此你只能得到机器精度的第n个根。用x-a压缩会得到一个不精确的系数列表。多项式根可能对系数非常敏感（即使它们是它们的连续函数）.你也可以看一看有关这个问题（以及如何缓解通货紧缩问题）的一些指导方针的数字配方。