Algorithm 区间树中的最大非重叠区间

给定一个时间间隔列表，我需要找到一组最大不重叠的时间间隔

比如说,

如果我们有以下时间间隔：

[0600, 0830], [0800, 0900], [0900, 1100], [0900, 1130], 
[1030, 1400], [1230, 1400]

此外，还规定时间必须在

[0000，2400]

范围内

最大不重叠的间隔集是

[06000830]、[09001130]、[12301400]

我知道最大集合包装是NP完全的。我想确认我的问题（区间仅包含开始和结束时间）是否也是NP完全问题

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如果是这样的话，有没有一种方法可以在指数时间内找到一个最优的解决方案，但需要更智能的预处理和修剪数据。或者如果有一个相对容易实现的固定参数可处理算法。我不想使用近似算法。

这不是一个NP完全问题。我可以想出一个

O（n*log（n））

算法，使用动态规划来解决这个问题

假设我们有n个区间。假设给定的范围是

S

（在您的例子中，

S=[0000，2400]

）。假设所有间隔都在

S

范围内，或者在线性时间内消除所有不在

S

范围内的间隔

预处理：

• 按开始点对所有间隔进行排序。假设我们得到一个间隔为n的数组

  A[n]

  。
  • 此步骤需要

    O（n*log（n））

    时间
• 对于区间的所有终点，找到其后面最小起点的索引。假设我们得到一个由

  n

  整数组成的数组

  Next[n]

  。
  • 如果间隔

    i的终点不存在这样的起点，

    我们可以将

    n

    分配给

    Next[i]

  • 我们可以在

    O（n*log（n））

    时间中通过枚举所有间隔的n个端点来完成此操作，并使用二进制搜索来找到答案。也许有线性方法可以解决这个问题，但这并不重要，因为前面的步骤已经花费了

    O（n*log（n））

    时间

DP:

• 假设范围

  [A[i].开始，S.end]

  中的最大非重叠间隔为

  f[i]

  。那么

  f[0]

  就是我们想要的答案
• 也假设f[n]=0
• 状态转移方程：

  • f[i]=max{f[i+1]，1+f[Next[i]}

• 很明显，DP步骤需要线性时间

上面的解决方案就是我第一眼看到这个问题时想到的。在那之后，我还想到了一种更简单的贪婪方法（但在大O符号的意义上不是更快）：

（采用与上述DP方法相同的符号和假设）

预处理：按结束点对所有间隔进行排序。假设我们得到一个n个间隔的数组

B[n]

贪婪的：

int ans = 0, cursor = S.begin;
for(int i = 0; i < n; i++){
    if(B[i].begin >= cursor){
        ans++;
        cursor = B[i].end;
    }
}

intans=0，cursor=S.begin；
对于（int i=0；i=光标）{
ans++；
游标=B[i]。结束；
}
}

以上两种解决方案出自我的想法，但你的问题也被称为活动选择问题，可以在维基百科上找到

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此外，《算法导论》在16.1中深入讨论了这个问题。

最大值是指间隔的最大数量还是间隔的总持续时间最长？您的示例解决方案是3次间隔，总持续时间为6.5小时。是什么使它最大，3还是6.5？我对第一点的第二点有点困惑。你是说我们需要为下一个可能的间隔创建一个新数组吗？这就是

Next[n]

是什么，还是

Next[n]==A[n]

？也许你可以写更多的代码来澄清？