Algorithm 基于快速傅里叶变换的多项式乘法
我正在从CLRS（CORMEN）（）中浏览上述主题，我在这一点上陷入了困境 谁能解释一下下面的表达方式Algorithm 基于快速傅里叶变换的多项式乘法,algorithm,fft,polynomial-math,Algorithm,Fft,Polynomial Math,我正在从CLRS（CORMEN）（）中浏览上述主题，我在这一点上陷入了困境 谁能解释一下下面的表达方式 A(x)=A^{[0]}(x^2) +xA^{[1]}(x^2) 从 n-1 ` Σ a_j x^j j=0 在哪里, A^{[0]} = a_0 + a_2x + a_4a^x ... a_{n-2}x^{\frac{n}{2-1}} A^{[1]} = a_1 + a_3x + a_5a^x ... a_{n-1}x^{\frac{n
A(x)=A^{[0]}(x^2) +xA^{[1]}(x^2)
n-1 `
Σ a_j x^j
j=0
A^{[0]} = a_0 + a_2x + a_4a^x ... a_{n-2}x^{\frac{n}{2-1}}
A^{[1]} = a_1 + a_3x + a_5a^x ... a_{n-1}x^{\frac{n}{2-1}}
如果你把多项式分成“奇数指数”和“偶数指数”，你会发现一个恼人的事实，A[1]多项式（有奇数指数的那一个）有很多奇数指数！对于FFT，甚至指数也更容易使用。因此，可以简单地从[1]中的所有值中取出一个“x”，并将其移出表达式 FFT只喜欢处理指数多项式。因此，当你进行除法和征服时，你需要将A[1]表达式转化为一个“偶数指数”多项式，然后在该多项式上递归，然后在该x上相乘。您将在实际算法的内部循环中看到这种情况 编辑：我意识到你的困惑可能源于这样一个事实，即它们作为多项式中的值“传入”（x^2）。[1]和[0]中的“x”与（x^2）表达式中的x不同。你会看到这是怎么回事，因为当原始多项式A上升到指数N时，A[1]和A[0]都只上升到指数（N/2）。多项式
A（x）A(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...
xA[0]xA[1]A[0](x) = a_0 + a_2 x + a_4 x^2 + ...
A[1](x) = a_1 + a_3 x + a_5 x^2 + ...
x^2A[0]A[1]A[0](x^2) = a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + ...
A[1](x^2) = a_1 + a_3 x^2 + a_5 x^4 + ...
x A[1](x^2) = a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + ...
A[0](x^2) + x A[1](x^2) = (a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + ...) + (a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + ...)
= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...
= A(x)
A[1]（x^2）xA[0](x^2) = a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + ...
A[1](x^2) = a_1 + a_3 x^2 + a_5 x^4 + ...
x A[1](x^2) = a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + ...
A[0](x^2) + x A[1](x^2) = (a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + ...) + (a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + ...)
= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...
= A(x)
A[0]（x^2）xa[1]（x^2）A[0](x^2) = a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + ...
A[1](x^2) = a_1 + a_3 x^2 + a_5 x^4 + ...
x A[1](x^2) = a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + ...
A[0](x^2) + x A[1](x^2) = (a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + ...) + (a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + ...)
= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...
= A(x)
我不会回答你的问题，因为我觉得以前的人已经回答过了。我将尝试解释FFT的目的 首先，FFT是计算两个向量之间卷积的一种方法。也就是说，假设x=和y=是1xn向量，那么x和y的卷积是 \和{i=0}^n{xiy{n-i} 您必须接受这样一个事实，即计算该值在广泛的应用程序中非常有用
现在考虑以下内容：
假设我们构造了两个多项式 A（z）=x0+x1*z+x2*z^2+..+xn^z^n B（z）=y0+y1*z+y2*z^2+..+yn^z^n 那么乘法就是 AB（z）=A（z）B（z）=\sum{i=0}^n（\sum{k=0}^i xk*y{i-k}）z^i 其中，内和显然是不同k值的不同大小的卷积 现在我们可以用蛮力法在n^2时间内清楚地计算AB的系数（卷积） 然而，我们也可以更加聪明。考虑n个多项式的任何多项式可以用n＋1点唯一地描述。在给定n+1点的情况下，我们可以构造通过所有n+1点的唯一n次多项式。进一步考虑n+ 1点形式的2个多项式。您可以通过简单地将n+1y值相乘并保持x值来计算它们的乘积，从而得到点形式的乘积。现在给出一个n+1点形式的多项式，你可以找到唯一的多项式，它在O（n）时间内描述它（实际上我不确定，它可能是O（nlogn）时间，但肯定不会更多。）这正是FFT所做的。然而，为了得到多项式A和B所描述的n+1点而选择的点是非常仔细的。有些点确实很复杂，因为考虑这些点可以节省计算多项式的时间。也就是说，如果只选择真实点而不是FFT使用的仔细选择的点，则需要O（n^2）时间来计算n+1点。如果选择FFT，则只需要O（nlogn）时间。这就是FFT的全部内容。哦，FFT选择点的方式有一个独特的副作用。给定一个n次多项式，必须选择2^m点，其中m的选择应确保2^m是大于或等于n的2的最小幂。定义CLR。可能需要一个家庭作业标签？CLRS=算法教科书，有时称为Cormen's，标题实际上是“算法简介”。我很乐意帮忙，除非尽管我喜欢书名，但我没有记住这本书，而且我发现从一开始就很难阅读这个问题。这是算法导论（第二版）通常被称为CLRS或COREMAN，下面的表达式是如何从何而来的？@Eric：虽然《金融时报》需要比大多数人多得多的数学，但我想说，没有数学，你真的无法做任何重要的理论算法（证明正确性、运行时等）。此外，由于FFT被认为是迄今为止最重要的算法之一，我认为任何与之相关的问题都与此相关。@mawia如果Agor回答了你的问题，此时最常见的礼貌是接受他的回答。@las3rjock，谢谢你的关心，但你能告诉我如何接受答案吗……我的意思是我已经接受了答案，但有没有办法在这条线上显示或标记这一点？我承认写这篇文章有点尴尬，因为这有点自私。>，但是：在每个帖子的向上和向下投票选项下（即每个帖子当前投票数上方和下方的三角形），应该有一个检查的大纲。无论你想将哪个答案标记为答案，只需点击该帖子的复选框。