Algorithm 实施智能列表

我被要求设计一个名为“聪明列表”的数据结构，该结构保存具有真实键号的项，并提供下一步操作：

插入（x）-在列表中插入新元素。应该在O（日志n）中

删除最小/最大值-删除并返回列表中的最小/最大值元素。应在O（对数n）时间内

Transform-更改remove min/max的返回对象（如果为min，则为max，反之亦然）。应该在O（1）中

随机采样（k）-返回列表中随机选择的k个元素（k大于0小于n）。应该是O（min（k log k，n+（n-k）log（n-k）））

关于结构的假设： 数据结构在任何阶段都不会容纳超过3n个元素。 我们不能假设n=O（1）。 我们可以使用Random（）方法，它在O（1）时间内返回一个介于[0,1]和preforms之间的实数

我设法实现了前三种方法，使用了一个最小-最大精细堆。但是，在这个时间限制内，我对随机抽样（k）方法一无所知。我能找到的只是“”，它在O（n）时间内运行

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有什么建议吗？

如果您将数字存储在一个数组中，并使用自平衡二叉树来维护这些数字的排序索引，那么您可以按照给定的时间复杂度执行所有操作。在树的节点中，您需要指向数字数组的指针，在数组中，您需要指向树节点的指针那号码是属于你的

• Insert（x）将x添加到数组的末尾，然后将其插入到二叉树中
• Remove min/max跟随二叉树的左/右分支查找最小值或最大值，然后将其删除。您需要将数组中的最后一个数字交换到删除生成的孔中。此时，您需要将数组中的后指针返回到树中
• Transform为“删除最小值/最大值”操作切换一位
• 随机样本选择0…n-1范围内的k或（n-k）唯一整数（取决于2k是否

假设（未初始化的）内存可以在O（1）时间内分配，则可以在O（k）时间内创建范围为0..n的k个唯一整数集

首先，假设您有办法知道内存是否未初始化。然后，您可以拥有一个大小为n的未初始化数组，并执行Fisher-Yates shuffle的常规k步，除非每次访问数组的元素（例如，索引i），如果未初始化，则可以将其初始化为值i。这样可以避免初始化整个数组，从而允许在O（k）时间而不是O（n）时间内完成洗牌

第二，显然，通常不可能知道内存是否未初始化，但有一个技巧可以让你在未初始化的内存中实现稀疏数组（代价是使用的内存量翻倍）。Russ Cox的博客对此进行了深入描述：

这为您提供了一种随机选择k个数字的O（k）方法。如果k较大（即：>n/2），您可以选择（n-k）个数字而不是k个数字，但您仍然需要将未选择的数字返回给用户，如果您将其复制出去，则始终是O（k），因此选择速度越快，您将一无所获

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如果您不介意提供对内部数据结构的访问权限，一种更简单的方法是在底层数组上执行Fisher-Yates shuffle的k或n-k步骤（取决于k是否您可以使用数组中实现的最小-最大堆（包括随机采样）来完成所有这些操作

对于随机抽样，选择一个从0到n的随机数。这是您要删除的项的索引。复制该项，然后用数组中的最后一项替换该索引处的项，并减少计数。现在，根据需要将该项向上冒泡或向下筛选

如果它在最小级别，并且该项比其父项小，则将其冒泡。如果它比最小的子项大，则将其筛选。如果它在最大级别，则反转逻辑

该随机抽样是O（k log n）。也就是说，您将从n个项的堆中删除k个项。它的复杂性与对

delete min

的k个调用相同

附加信息 如果不必从列表中删除项目，则可以通过从数组中选择

k

索引，在O（k）中进行简单的随机抽样。但是，可能存在重复。为避免重复，可以执行以下操作：

随机选择一个项目时，将其与数组中的最后一个项目交换，并将计数减少1。选择所有项目后，它们位于数组的最后

k

位置。这显然是一个O（k）操作。您可以复制那些要由函数返回的项。然后，将count设置回原始值，并调用您的

MakeHeap

函数，该函数可以从O（n）中的任意数组构建堆。因此，您的操作是O（k+n）

MakeHeap

函数非常简单：

for (int i = count/2; i >= 0; --i)
{
    SiftDown(i);
}

另一个选项是，当您进行交换时，在堆栈上保存交换操作。也就是说，保存from和to索引。要放回项目，只需按相反顺序运行交换（即从堆栈中弹出，交换项目，然后继续，直到堆栈为空）。这是选择的O（k），放回的O（k）和O（k）堆栈的额外空间

当然，另一种方法是按照我的建议进行删除，一旦所有删除都完成，您就可以将项目重新插入堆中