Algorithm 讨论小n的计算复杂性的正确方法

在讨论计算复杂性时，似乎每个人都会直奔大O

比如说，我有一个混合算法，比如merge-sort，它对较小的子数组使用插入排序（我相信这叫做平铺合并排序）。最终仍然是用O（n logn）进行合并排序，但我想讨论小n的算法的行为/特征，在实际没有合并的情况下

对于所有意图和目的，平铺合并排序都是插入排序，对我的小n的域执行完全相同的指令。然而，大O处理的是大的和渐近的情况，而讨论小n的大O几乎是一种矛盾修饰法。人们对我大喊大叫，因为我甚至认为“在这种情况下，行为就像一个O（n^2）算法”。在形式理论计算分析的背景下，描述小n情况下算法行为的正确方法是什么？澄清一下，不仅仅是在n很小的情况下，而且在n从来都不是大的情况下

有人可能会说，对于如此小的n，这并不重要，但我感兴趣的是，在这种情况下，它会起作用，例如，对于一个大常数，例如被执行多次，在实践中，它会显示出明显的趋势，并成为主导因素。例如，下图所示的初始二次增长。我并不是在否定Big O，而是在寻求一种恰当地讲述故事双方的方式

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如果对于“小n”，常数可以很容易地去除生长速率的所有痕迹，那么

仅讨论渐近情况，在这种情况下，与任何实际应用的相关性较小，或

必须有一个阈值，在该阈值下，我们同意n不再是“小的”

如果n不“小”（n足够大，以至于增长率不会受到任何实际常数的显著影响），但还不足以显示最终的渐进增长率，因此只有次增长率可见（例如上图中的形状），那么情况如何

是否没有实际的算法显示这种行为？即使没有，理论讨论仍然是可能的。我们是否仅仅因为“一个人应该做什么”就衡量而不是讨论这个理论？如果在所有实际案例中都观察到某些行为，为什么没有有意义的理论

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让我把问题转过来。我有一张显示分段超线性步骤的图表。听起来很多人都会说“这纯粹是巧合，它可以是任何可以想象的形状”（当然是极端情况），如果它是正弦波，就不会眨眼。我知道在很多情况下，形状可以被常数隐藏，但在这里它是很明显的。我怎样才能正式解释为什么图形会产生这种形状

我特别喜欢@Sneftel的话“不精确但有用的指导”

我知道大O和渐近分析是不适用的。是什么？我能走多远

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对于小n，计算复杂性——当n向无穷大增加时，事物如何变化——没有意义，因为其他效应占主导地位

我所看到的讨论小值n的行为的论文是通过测量实际系统上的算法来实现的，并且讨论了算法在实践中的表现，而不是从理论的角度。例如，对于你在文章中添加的图，我会说‘这个图总体上显示了一个O（N）渐近行为，但每个图块内的增长是有界二次的’

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我不知道在什么情况下，从理论角度讨论这种行为会有意义——众所周知，对于小n来说，实际影响超过了扩展的影响。

复杂性不是一台机器上一个

n

的执行时间，因此，即使常量很大，也不需要考虑它。复杂性告诉您输入的大小如何影响执行时间。对于较小的

n

，可以将执行时间视为常量。这是一面

从第二方面来说，你是在说：

你有一个混合算法在

O（n logn）

中工作，用于

n

大于一些

k

和

O（n^2）

中，用于

n

小于

k

常数

k

太大，算法运行缓慢

这样的算法毫无意义，因为您可以轻松地对其进行改进

让我们看一看红黑树。此树上的操作在

O（n logn）

时间复杂度中执行，但有一个较大的常数。因此，在正常机器上，在某些情况下，它可能工作缓慢（即比更简单的解决方案慢）。在分析复杂性时，不必考虑它。当你在系统中实现它时，你需要考虑它：你需要检查它是否是最好的选择，考虑到它将运行的实际机器和它将要解决的问题。

< P>你是正确的。< /P> 对于较小的

n

，即仅执行插入排序时，渐近行为为二次

O（n^2

）

对于较大的

n

，当平铺合并排序开始起作用时，行为切换到

O（n.Log（n））

如果您记住，每个行为都有其有效性域，在切换阈值之前，让

N

，以及切换阈值之后，就没有矛盾了

实际上，

N

周围的曲线之间会有平滑的混合。但在实践中，

N

的值太小，以至于二次行为没有足够的“空间”来表现自己

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处理这种分析的另一种方法是说，

N

是一个常数，插入排序需要恒定的时间。但我不同意说这是必须的。

让我们把东西打开一点。大O是一个工具f