Algorithm 以给定的最小权重最大化子图的数目

我有一个无向平面图，其中每个节点都有一个权重。我希望将图拆分为尽可能多的连通不相交子图（编辑：或达到子图的最小平均权重），条件是每个子图必须达到固定的最小权重（即其节点的权重之和）。仅包含单个节点的子图也可以（如果节点的权重大于固定的最小值）

到目前为止，我发现了一个启发：

create a subgraph out of every node
while there is an underweight subgraph:
  select the subgraph S with the lowest weight
  find a subgraph N that has the lowest weight among the neighbouring subgraphs of S
  merge S to N

显然，这不是最优的。有谁有更好的解决办法吗？（也许我只是无知，这不是一个复杂的问题，但我从未学习过图论…）

编辑（更多背景详细信息）：此图中的节点是要提供统计数据的低规模管理单元。但是，这些单位需要有一定的最低人口规模，以避免与个人数据立法发生冲突。我的目标是创建聚合，以便在过程中尽可能少地丢失信息。邻域关系用作图形边，因为生成的单元必须是连续的

集合中的大多数单元（节点）远高于最小阈值。如示例所示，约5-10%的尺寸在不同的阈值以下（最小尺寸50）：

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这是一个NP难优化问题。例如，可以很容易地将平面减少到这一点（平面度特性不会引起问题）。因此，一个计算最优解的算法（你似乎在评论中要求一个最优解）不太可能适用于“成千上万的节点”

如果你实际上并不需要一个最优的解决方案，而是一个好的解决方案，我会使用局部优化方法，比如禁忌搜索或模拟退火

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因为子图的平均权重就是总图的权重除以子图的数量，唯一重要的是找到你能达到的最大子图数量。猜测这个数字，N，形成一个初始划分为N个子图，然后，例如，使用局部移动（1）将一个节点从一个子图移动到另一个子图，以及（2）在两个相邻子图之间交换两个节点，以搜索每个子图都具有所需最小权重的可接受解决方案。如果您根本找不到可接受的解决方案，请减少N（例如减少1），然后重新启动，直到找到解决方案。

该问题是NP难问题，然后我将重点介绍指数解决方案。这个解决方案有很多改进点，我将重点介绍一些

其整体思想是：顶点的每个分区都由一些边连接，如果您尝试使用所有可能的边集，则可以确保生成正确的图分区。您可以通过计算每个分区的集合数（最佳条件）找到最佳情况

在以前的方法中，您没有扩展搜索的域。对于该解决方案，使用了以下内容： -不相交集：划分表示 -幂集：用于查找所有可能的边集

public Partition Solve(Graph g, int min)
{
    int max = 0;
    Partition best;

    // Find all the possible partitions for Edges
    foreach(var S in PowerSet(g.Edges))
    {
        // Build the Vertexes partition
        var partition =  BuildPartition(S);

        // Test the min condition foreach component
        if (IsInvalid(partition, min))
            continue;

        // Continue if we already have something better
        if (max >= partition.Length)
            continue;

        // Update
        max = partition.Length;
        best = partition;
    }

    return best;
}

public Partition BuildPartition(Graph g, IEnumerable<Edge> edges)
{
    // Initially Every Vertex in alone in his partition
    var partition = new DisjointSet(g.Vertexes);

    foreach (var edge in edges)
    {
        // If the Vertexes of this edge are already in the same partition DO NOTHING
        if (partition.Find(edge.V1) == partition.Find(edge.V2))
            continue;

        // Join both subsets
        partition.Union(edge.V1, edge.V2);
    }

    return parition;
}

public bool IsInvalid(Partition p, int min)
{
    return p.Sets.Any(t => t.Sum(v => v.Weight) < min);
}

公共分区求解（图g，int-min）
{
int max=0；
分区最好；
//查找所有可能的边分区
foreach（功率集中的var S（g.Edges））
{
//构建顶点分区
var分区=构建分区；
//测试每个组件的最小条件
if（IsInvalid（分区，最小值））
继续；
//如果我们已经有更好的东西，请继续
如果（最大>=分区长度）
继续；
//更新
max=分区长度；
最佳=分区；
}
回报最好；
}
公共分区BuildPartition（图g，IEnumerable边）
{
//最初，每个顶点在其分区中都是单独的
var partition=新的不相交集（g.顶点）；
foreach（边中的变量边）
{
//如果此边的顶点已在同一分区中，则不执行任何操作
if（partition.Find（edge.V1）=partition.Find（edge.V2））
继续；
//联接两个子集
并集（edge.V1，edge.V2）；
}
返回分区；
}
公共布尔IsInvalid（分区p，最小整数）
{
返回p.set.Any（t=>t.Sum（v=>v.Weight）

您可以在以下方面改进解决方案： -将并行性添加到电源集和IsInvalid条件 -找到生成有效边集的更好方法 -对于权重大于最小值的顶点（始终位于单独的子图中）有一些起始情况

该算法的阶数由幂集给出。 -幂集：在这种情况下，对于N个顶点图，最坏的情况是3N-6条边，然后是O（2^N）。-构建分区：V+E*LogV然后是O（NLogN） -IsInvalid:O（V）

最后的解是O（2^N*N*LogN） 使用最后一个公式计算操作数

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希望这有帮助

实例的细节改变了一切

如果顶点本身超过阈值，则称其为重顶点。有两个重顶点的子图是没有意义的，因为我们可以把它一分为二。因此，最优解中的子图数与不含重顶点的子图数相加

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因此，我们可以删除沉重的顶点，集中精力从剩下的部分中生成尽可能多的有效子图。根据地图判断，剩下的将由许多连接的组件组成，每个组件只有少数几个顶点。有效的子图必须是连通的，因此这些组件可以独立求解。在小的情况下，可以（例如）枚举所有有效的子图，然后运行以找到最大基数填充。

如果没有平面性条件，这个问题肯定是强NP难的。我不希望有一种简单的方法来利用平面性，除了可能是一个动态程序，它的运行是指数级的√n（与n相反，使用平面图具有