Algorithm 建造2^n高塔架的可能性，其2x2底座为2x1x1砌块

有多少种可能性可以用2x1x1块建造一座2^n塔（基本面积为2x2）？这必须是一个分而治之的算法，正如我到目前为止所理解的那样。我算出了O（2^n），但我想用多项式时间来解决这个问题

在我的例子中，主要的问题是找出“征服”部分

谁能给我一个建议，如何在多项式时间内解决这个问题

设F（n）为从平底建造高度为n的塔的方式数，S（n）为从填充一半的底座建造高度为n的塔的方式数

然后F（n）=2F（n-1）+4S（n-1），S（n）=F（n-1）+S（n-1）

这是因为如果你从一个平坦的底座开始，有两种方法可以完全填充底层，而不会有任何碎片向上突出，还有4种方法可以将一块放平，两块向上突出。同样地，如果你有一个半填充的基底，你可以通过添加一个平躺的部分来完成这一层，或者添加两个以上的竖立部分，其中一半填充上面的层

然后，您可以将其表示为矩阵向量乘法（在ASCII艺术中）：

因此：

F(n) = (2 4)^n (F(0))
S(n) = (1 1)   (S(0))

由于F（0）=1和S（0）=0，您有：

F(n) = (2 4)^n (1)
S(n) = (1 1)   (0)

可以使用平方求幂法计算O（logn）时间内的矩阵幂。这为您提供了一个O（n）算法，用于找到建造2^n高度塔楼的方法

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另一种不同的（分而治之）方法是计算建造高度为2^n的塔的方式，其中底层要么是完全的，要么是垂直填充的一半，要么是水平填充的一半。然后，通过计算将9个不同的半塔中的两个组合在一起的方法，每次可以将问题减半。计算起来更复杂，仍然是O（n），因为你不能使用矩阵幂技巧，因为出现了一些平方项。

似乎更容易使用DP，尽管看起来有相当多的手工计算和案例工作。是的，我也考虑了DP方法，而且我用DP部分解决了它。我的解决方案计算高度为1到2^（n-1）的塔的所有排列。但是2^n的高度需要分而治之，我想。我从来没有想过矩阵乘法方法。非常感谢。

F(n) = (2 4)^n (1)
S(n) = (1 1)   (0)