Algorithm 如何将最大基数二部匹配减少到最小路径覆盖？

我读过这两个问题：

还有这个

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但我不明白如何解决最大匹配问题可以用来解决最小路径覆盖。我知道解决方案是N-M，其中n是G中的顶点数，m是最大匹配，但我找不到原因

< p>这里是对这个事实的直观解释（这不是严格的证明）：让我们来看看路径覆盖中的每个路径。除路径中的第一个顶点外，每个顶点都有一个唯一的前置顶点。此外，每个顶点只有一个后续顶点（每个路径中的最后一个除外）。这就是为什么我们可以说每个顶点都与其前一个顶点相匹配。如果顶点与任何对象都不匹配，则它是某条路径中的第一个顶点。这就是为什么路径的数量等于不匹配顶点的数量（每个路径正好有一个第一个顶点）。不匹配顶点的数量显然等于顶点总数减去匹配顶点的数量。这就是我们得到的

n-m

公式。不可能获得比最大匹配大小更小的路径（否则

n-m1

=>

m1>m

=>

m

不是最大值）。同时，我们可以显式地构造具有

n-m

路径的解

• 左侧有n个节点，右侧有m个节点
• 匹配后，计算maxFlow f-最大匹配数
• 左侧的f节点和右侧的f节点已在最小边覆盖中
• 在左边有n-f个不匹配的节点，在右边有m-f个这样的节点
• 这些节点还不在最小覆盖范围内，因为最大匹配不包括它们
• 每个节点都可以连接到min edge cover。所以它添加了（n-f）+（m-f）边
• 所以总的最小覆盖率是f+（n-f）+（m-f）=n+m-f

这里有一个最小边覆盖问题：