Algorithm 二元搜索的最优性

这可能是一个愚蠢的问题，但有人知道二进制搜索是渐近最优的证明吗？也就是说，如果给我们一个元素的排序列表，其中对这些对象唯一允许的操作是比较，您如何证明搜索不能在o（lgn）中完成？（顺便说一句，这是lg n的little-o。）注意，我将其限制在唯一允许操作的元素是比较的元素上，因为如果允许您对数据进行更复杂的操作（例如，请参见插值搜索），有一些众所周知的算法可以超出预期的o（lg n）。

逻辑很简单。假设我们有一个由

n

不同排序元素组成的数组

一个比较有两种可能的结果（第一个元素更小或更大）。因此，如果一次比较就足够了，

n=log（2，n）

来自：

• 可能结果的数量应至少为O（n）
• 您可以通过“决策树”的节点来表示算法所做的决策：如果项目比较大，则它继续进行，如果不是，则相反。树的节点是算法的状态，叶子是结果。所以树中至少应该有O（n）个节点
• O（n）节点上的每个树至少有O（logn）个级别

---

正如尼基塔所描述的，不可能有比O（logn）更好的东西
即使您允许做一些额外的操作，这仍然是不够的-我相信有可能准备元素序列，其中插值搜索的性能比二进制搜索差
我们可以说插值搜索更好，因为：
我们考虑平均性能，而不是最坏情况。
• 每个可能的传入数据集的概率是不均匀的

---

所以答案是——这完全取决于我们对传入数据集的额外知识。
您也假设对所有元素的访问都是一致的？否则见@Bernard-不，不是家庭作业。我有我的标准。：-）这正是困扰我一段时间的问题。@Paul-我正在寻找一种算法，它可以最大限度地减少比较次数，因此每个元素的访问时间应该是无关的。另外，据我所知，斐波那契搜索也是O（lg n），它渐近地等价于二进制搜索。数组中是否存在重复项？我认为这无关紧要，但可以肯定，假设允许重复。看起来你在这里证明了上界。如果有重复的元素，这会改变吗？这真的可以作为下界证明吗？您已经正确地表明您可以在O（lg n）时间内查找元素，但是您排除了渐进更快算法的可能性吗？@templatetypedef我添加了最后一步，现在应该清楚了。@Paul“没有重复元素”是原始问题的特例。如果对于特殊情况没有更好的解决方案，那么对于整个问题也没有更好的解决方案。这非常聪明-我没有想到将算法的状态表示为树。这很有道理；非常感谢@模板：heapsort/mergesort的AFAIK最优性也以类似的方式得到了证明。我能否建议更精确一点：假设所有n个元素都是不同的，那么就有n+1个可能的结果（因为目标值可能不存在），所以就有n+1个叶（不是节点）。n+1叶上的树至少有log2（n+1）级。也许你说“O（n）节点上的每棵树至少有O（logn）个级别”是正确的，但我发现很难对O（）进行推理，因为它位于等式的两边，就像这样…：）有了更多的知识，几乎什么都有了。如果按概率对元素进行排序，并且概率是几何分布，那么即使是线性搜索也可以在O（1）时间内执行！顺便说一句，有时候这是个好主意。