Algorithm 将AVL树转换为红黑树

我在某个地方读到这句话，任何AVL树T的节点都可以被涂成“红色”和“黑色”，这样T就变成了红黑树

这句话似乎很有说服力，但我不明白如何正式证明这句话

根据wiki，红黑树应满足以下五个属性：

a、 节点为红色或黑色

b、 根是黑色的。这条规则有时被省略。因为根总是可以从红色变为黑色，但不一定相反

c。所有的叶子（无）都是黑色的

d、 如果节点为红色，则其两个子节点均为黑色

e、 从给定节点到其任何子代NIL节点的每条路径都包含相同数量的黑色节点

这四个条件很简单，我被困在了如何证明语句5的问题上。好吧，5的简单例子是一个单一的后代，它是一片叶子，由3变黑

否则，子体节点为红色，需要有2个黑色的子体乘以#4

然后这两种情况递归地应用于每个节点，因此在每个路径中始终有相同数量的黑色节点

首先，定义树的高度（用于AVL树）：

另外，将路径的深度（如用于红黑树，路径是从给定节点到某个叶的子体链）定义为路径上的黑色节点数

---

正如您所指出的，将AVL树着色为红黑树的技巧在于确保每条路径具有相同的深度。您需要使用AVL不变量：任何给定节点的子树在高度上最多可以相差一个

直观地说，诀窍是使用一种着色算法，其深度在给定高度下是可预测的，这样您就不需要进行任何进一步的全局协调。然后，可以局部调整颜色，以确保每个节点的子节点具有相同的深度；这是可能的，因为AVL条件严格限制了它们的高度差

---

此树着色算法实现以下功能：

color_black(x):
  x.color = black;
  if x is a node:
    color_children(x.left, x.right)

color_red(x):  // height(x) must be even
  x.color = red
  color_children(x.left, x.right)  // x will always be a node

color_children(a,b):
  if height(a) < height(b) or height(a) is odd:
    color_black(a)
  else:
    color_red(a)
  if height(b) < height(a) or height(b) is odd:
    color_black(b)
  else:
    color_red(b)

黑色（x）：
x、 颜色=黑色；
如果x是一个节点：
彩色儿童（x左，x右）
红色（x）：//高度（x）必须均匀
x、 颜色=红色
color\u子节点（x.left，x.right）//x将始终是一个节点
儿童（a、b）的颜色：
如果高度（a）<高度（b）或高度（a）为奇数：
黑色（a）
其他：
红色（a）
如果高度（b）<高度（a）或高度（b）为奇数：
黑色（b）
其他：
红色（b）

对于AVL树的根，请调用

color\u black（root）

以确保b。 请注意，树是按深度优先顺序遍历的，这也确保了

请注意，红色节点的高度都相等。叶子的高度为1，因此它们将被染成黑色，以确保c。红色节点的子节点将具有奇数高度或比其兄弟节点短，并将标记为黑色，以确保d

最后，展示e。（从根开始的所有路径具有相同的深度）， 使用

n>=1的归纳法证明：


对于奇数
高度=2*n-1
，

color_black（）创建一棵红黑树，深度
n

对于偶数
高度=2*n
，

color_red（）将所有路径设置为深度
n
color_black（）创建一棵红黑树，深度
n+1


基本情况，对于
n=1
：


对于奇数
高度=1
，树是一片叶子；

color_black（）将叶子设置为黑色；唯一路径的深度为1

对于偶数
height=2
，根是一个节点，两个子节点都是叶子，上面标记为黑色；

color_red（）将节点设置为红色；两条路径的深度均为1
color_black（）将节点设置为黑色；两条路径都有深度2


归纳步骤是我们使用AVL不变量的地方：兄弟树的高度最多可以相差1。对于具有给定高度的节点

：

• 子类A：两个子树都是

  （高度-1）

• 子类B：一个子树是

  （高度-1）

  ，另一个子树是

  （高度-2）

归纳步骤：假设假设

n

的假设为真，则表明它适用于

n+1

：

对于奇数

高度=2*（n+1）-1=2*n+1

• 子类A：两个子树的高度均为偶数

  2*n

  • color\u children（）为两个子项调用color\u red（）
  • 通过归纳假设，两个孩子都有深度

    n

  • 对于父级，color_black（）添加一个黑色节点，用于深度

    n+1

• 子类B：子树具有高度

  2*n

  和

  2*n-1

  • color_children（）分别调用color_red（）和color_black（）
  • 对于均匀高度

    2*n

    ，颜色_red（）产生深度

    n

    （感应高度）
  • 对于奇数高度

    2*n-1

    ，黑色（）产生深度

    n

    （感应高度）
  • 对于父级，color_black（）添加一个黑色节点，用于深度

    n+1

对于偶数

height=2*（n+1）=2*n+2

• 子类A：两个子树的奇数高度

  2*n+1=2*（n+1）-1

  • color_children（）为两个子项调用color_black（），表示深度

    n+1

  • 从上面的奇数高度案例来看，两个孩子都有深度

    n+1

  • 对于父级，color_red（）添加了一个红色节点，用于未更改的深度

    n+1

  • 对于父级，color_black（）添加一个黑色节点，用于深度

    n+2

• 子类B：子树的高度

  2*n+1=2*（n+1）-1

  和

  2*n

  • color_children（）为两个子项调用color_black（），表示深度

    n+1

  • 对于奇数高度

    2*n+1

    ，黑色（）产生深度

    n+1

    （见上文）
  • 对于均匀高度

    2*n

    ，黑色（）产生深度

    n+1

    （感应高度）
  • 帕伦

    color_black(x):
      x.color = black;
      if x is a node:
        color_children(x.left, x.right)
    
    color_red(x):  // height(x) must be even
      x.color = red
      color_children(x.left, x.right)  // x will always be a node
    
    color_children(a,b):
      if height(a) < height(b) or height(a) is odd:
        color_black(a)
      else:
        color_red(a)
      if height(b) < height(a) or height(b) is odd:
        color_black(b)
      else:
        color_red(b)