Algorithm NP完全与NP难

我试图理解NP完全和NP难之间的区别

以下是我的理解

NP难问题是在多项式时间内不可解但可在多项式时间内验证的问题。
NP完全问题是NP中的问题，也是NP难问题

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上述定义正确吗？如果是这样，那么不是NP问题而是NP难问题呢。它们不是比NP完全问题更难吗，比如说它们只能在指数时间内得到解决和验证

NP难是这个问题的下界。不可能的问题也是NP难问题。NP完全意味着它是NP难的，同时也是NP可解的

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可以在多项式时间内验证的问题是NP中问题的定义之一。

您的定义仅适用于NP完全

从底部开始：p是一类可由某些确定性图灵机在多项式时间内求解的问题。NP是一类可由非确定性图灵机在多项式时间内求解（或其解可由确定性图灵机在多项式时间内验证）的问题

至于NP难，它意味着决策问题X具有以下性质：给定一个解决该问题的图灵机，可以在多项式时间内将NP中问题的任何实例重构（图灵化简）为X的实例。非正式地说，这意味着NP难问题是那些“至少和NP一样难”的问题，或者X的解可以应用于NP中的每一个问题。请注意，问题不必在多项式时间内可验证，或者根本不需要实际验证。NP难也包括不可判定和不可识别的问题

我们不知道NP难是否包括可以在多项式时间内解决的问题（p？=NP问题）。目前，还没有一个NP难问题的多项式时间解被找到，但也没有证明这样的解不存在。如果为某个NP难问题X找到了这样的解决方案，这意味着P=NP，因为NP中任何问题的任何实例都可以在多项式时间内转换为X的实例（因为NP难问题的图灵归约特性），然后通过X的多项式时间解在多项式时间内求解。

a

NP

问题（非

NP难

问题）是一个决策问题，可以在多项式时间内得到验证。可能它们在多项式时间内是可解的，因为

P

中的所有问题也在

NP

中

一个

NP完全

问题是一个决策问题，所有

NP

问题都可以在多项式时间内归结为它。它们是类

NP

中最难的问题

NP-hard

类问题至少与

NP-complete

类问题一样难。它们不一定是决策问题。鉴于我们不知道

NP=p

与否，很难说我们能否在多项式时间内验证

NP-hard

问题

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例如，最大团的决策问题（给一个图

G

一个整数

K

，以判断是否存在一个至少有

K

个顶点的完整图）是

NP

问题，也是

NP完全
和
NP难
问题（在给定的图中找到最大团）不是
NP
或
NP complete
，因为它不是决策问题。我们可以说它是
NP-hard
，因为它至少和最大团问题的决策版本一样难。
你对NP-hard的定义不正确，它看起来更像（不完全正确）复杂性类NP的定义



什么是复杂性类NP？
一个计算问题
p
如果能够被有效地验证，它就属于复杂度类NP。在复杂度理论中，我们认为需要多项式时间的计算是有效的。因此，形式上
p∈ NP
如果
p
是多项式时间可验证的

在您的定义中，您提到了多项式时间可解的概念，它对应于复杂性类别p。NP完全问题是多项式时间可解的当且仅当p=NP。请注意，著名的是计算机科学中最大的开放问题之一，因此目前没有人知道p=NP还是p⊊ NP，说NP问题不是多项式时间可解的是不恰当的（尽管人们普遍认为是这样）



什么是NP难问题？
直观地说，NP难问题是计算问题，它至少和NP中的问题一样难。当我们说一个计算问题
p
至少和另一个问题
q
一样难时，我们实际上是反过来想的——如果我们能在时间T内解决
p
，那么我们也能在时间T内大致解决
q
与T相同（例如，相差一个多项式因子）

更准确地说，如果有一个从
q
到
p
，我们说
p
至少和另一个问题
q
一样难。大致来说，多项式时间缩减意味着给定一个解
p
的算法
a
，我们可以使用
a构造一个多项式时间算法
B
e> 作为黑盒（即，我们将
A
的时间复杂度视为
O（1）
）来求解
q

在我们的NP-Hard问题中，如果一个NP-Hard问题可以在多项式时间内求解，那么所有NP问题都可以在多项式时间内求解（因此p=NP！）。因此，人们普遍认为NP-Hard问题不是多项式时间可解的



什么是NP完全问题？
正如您在问题中正确指出的，计算问题
p
如果是NP难和
p，则是NP完全的∈ NP



NP难pr