Algorithm 合并大小为n的k个排序数组的下界

正如标题所示，我想知道合并大小为n的k排序数组的下界的证明是什么？我知道界是O（kn*log[k]），但这是如何实现的呢？我尝试将其与使用决策树对p元素数组进行排序进行比较，但我不知道如何实现这个证明

这很容易证明，试着用合并排序的方式来考虑。

要对大小为K*N的数组进行合并排序，需要O（KN*log（K*N））

但是我们不必到达大小为1的leafs，因为我们知道当数组大小为N时，它会被排序。为简单起见，我们假设K是2的幂。

我们需要除以2多少次才能得到大小为N的叶子？
K次

可视化

因此您有log（k）步骤，然后必须合并每个步骤成本KN，并且有log（k）步骤。因此，时间复杂度为O（NK（log（K））

证明：
假设它不是一个下限，我们可以得到更好的结果。然后，对于任何大小为N*K的未知数组，我们可以将其拆分为2，直到我们得到大小为N的子数组，在Nlog（N）时间内对大小为N的每个数组进行合并排序，并对所有数组进行总计K*N*log（N）时间

在对大小为N的K个数组进行排序后，我们必须将它们合并为大小为N*K的更大数组，并支付小于O（NK*（log（K））的费用，因为我们假设这不是下限

最后，您以小于N*K*log（N*K）的复杂度对大小为N*K的未知数组进行排序，这在比较模型中是不可能的。

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因此，在合并大小为N的K个排序数组时，无法获得比O（NK*（log（K））更好的结果。

可能的实现。
让我们创建一个存储按元素排序的成对

（element，arrayIndex）

，然后

将具有相应数组索引的每个数组的第一个元素添加到此堆

在每个步骤中，从堆中移除顶部（最低）对

p

，将

p.element

添加到结果中，并将对

（下一步，p.arrayIndex）

插入堆中，其中下一个元素具有

p.arrayIndex

索引（如果它不为空）

为了跟踪“下一个”元素，您需要一个数组，该数组具有指向相应数组的下一个元素的

k

索引/指针/迭代器

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在任何时候堆中最多会有

k

个元素，因此堆的

insert

/

remove

操作将具有

O（log（k））

复杂性。每个元素将从堆中插入和移除一次。元素的数量为

n*k

。总体复杂性为

O（n*k*log（k））

创建一个大小为k的最小堆，用于存储k个数组中的下一项。每个节点还存储它来自哪个数组。通过将堆中的最小值添加到最终的排序数组，然后将值来自数组的下一个元素添加到堆中，来创建排序数组

移除堆的最小elt为O（日志k）。您总共有NK个元素，因此您可以执行NK次。最终结果：O（NK日志k）