Algorithm 在两个不同大小的集合中匹配每一个点，使总线条长度最小

我在坐标系中绘制了两组点。一个集合中的每个点必须至少与另一集合中的一个点相匹配，通过连接这些点绘制的线的长度总和应尽可能低。清楚地说，线条画只是一种抽象，实际输出只是必须匹配的点对

我看到过类似的问题，只是在我的例子中没有单链接限制，因为集合可能有不同的大小。有什么问题可以描述这种情况吗？更具体地说，假设每个集合最多有10个点，我可以使用什么算法来解决这个问题？

算法 您可以将其建模为网络流问题

通过在第一个集合中的每个点上都有一个1的源，在第二个集合中的每个点上都有一个1的汇，再加上一个额外的节点“dest”用于任何剩余容量，任何有效流都将始终连接每个点

根据点之间的距离以成本在点之间制作边

到目前为止，我们有一个网络，其解决方案将是集合1到集合2的最低成本匹配（即，每个点将有一个链接）

要允许多个链接，只需添加以下内容：

在集合2中的每个点和“dest”之间添加0个权重边（这允许集合2中的点进行多重连接）

在“dest”和集合2中的每个点之间添加0个权重边（这允许集合1中的点进行多重连接）

使用Networkx的Python代码示例

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您可以使用离散优化方法（）

我们有两组大小为X的A和大小为Y的B。这意味着最多有X*Y个链接，每个链接由一个布尔变量描述：如果节点A（i）和B（j）链接，则L（Y*i+j）为1，否则为0。如果X=Y=10，我们可以将链接L（7,3）写成L73

我们可以这样重写这个问题：

节点A（i）具有至少一个链路：X（例如，十个）标准，其中i从0到X-1，每个标准由Y个分量组成：

    L(i,0)+L(i,1)+L(i,2)+...+L(i,Y-1) >= 1

Node B(j) has at least one link, and there are Y criteria made up of X components:

    L(0,j)+L(1,j)+L(2,j)+...+L(X-1,j) >= 1

最低成本要求为：

cost = SUM(C(0,0)*L(0,0)+C(0,1)*L(0,1)+...+C(9,9)*L(9,9) 

通过这些约定，我们可以轻松地为ILP问题构建矩阵，这些矩阵可以传递给我们最喜欢的ILP解决包或库（C、Java、Python甚至PHP）

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一个自包含的“贪婪”算法不能保证找到一个最小值，但速度相当快，应该给出合理的结果，除非您向其提供病理数据集，它是：

- connect all points in the smaller set, each to its nearest point in the other set.
- connect all unconnected points remaining in the larger set, each to its
  nearest point in the first set, whether it's already connected or not.

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作为优化，您可以枚举较大数据集中的点；如果其中一个（比如A）单独连接到第一个数据集（比如B）中的一个点，该点是多重连接的，而不是它的最近邻C，则可以将链接从A-B切换到A-C。这解决了算法“贪婪”可能产生的最简单问题之一。

我以前从未听说过整数规划。这很有趣，但我想我会先试试里瓦斯的方法。另一方面，我的临时解决方案与您描述的贪婪算法完全相同，但没有这些优化。我也会调查一下。

- connect all points in the smaller set, each to its nearest point in the other set.
- connect all unconnected points remaining in the larger set, each to its
  nearest point in the first set, whether it's already connected or not.