Algorithm 是否总是可以使用树旋转将一个BST转换为另一个BST？

给定一组值，可能会有许多不同的二进制搜索树，它们可以由这些值形成。例如，对于值1、2和3，我们可以从这些值生成五个BST：

1      1      2      3      3
 \      \    / \    /      /
  2      3  1   3  1      2
   \    /           \    /
    3  2             2  1

许多基于平衡二叉搜索树的数据结构使用作为原语来重塑BST，而不破坏所需的二叉搜索树不变量。树旋转可用于将节点拉到其父节点上方，如下所示：

                rotate
         u      right           v
        / \     ----->         / \
       v   C                  A   u
      / \       <-----           / \
     A   B      rotate          B   C
                 left

旋转
u右v
/ \     ----->         / \
v C A u
/\您的问题的答案取决于是否允许您在BST中具有相同的值，这些值可能看起来不同。例如，如果您的BST存储键/值对，那么并不总是能够将这些键/值对的一个BST转换为相同键/值对的不同BST

原因是，无论执行多少树旋转，BST中节点的顺序遍历都保持不变。因此，如果节点的顺序遍历结果不同，则不可能从一个BST转换到另一个BST。作为一个非常简单的例子，假设您有一个BST，其中包含数字1的两个副本，每个副本都用不同的值（例如，a或B）进行注释。在这种情况下，无法使用树旋转将这两棵树转换为另一棵树：

       1:a            1:b
         \             \
         1:b           1:a

你可以通过强制旋转（非常小！）一组可能的树来检查这一点。然而，只需注意，第一棵树的按序遍历得到1:a，1:b，第二棵树的按序遍历得到1:b，1:a。因此，旋转次数不足以在树之间转换

另一方面，如果所有值都不同，则始终可以通过应用正确的树旋转次数在两个BST之间进行转换。我将用一个关于节点数的归纳论点来证明这一点

作为一个简单的基本情况，如果树中没有节点，则只有一个可能的BST保存这些节点：空树。因此，始终可以在两棵树之间进行转换，因为起始树和结束树必须始终相同

对于归纳步骤，假设对于具有相同值的0、1、2、…、n个节点的任意两个BST，始终可以使用旋转从一个BST转换到另一个BST。我们将证明，给定由相同n+1值构成的任意两个BST，总是可以将第一棵树转换为第二棵树

要做到这一点，我们首先要做一个关键的观察。给定BST中的任何节点，始终可以应用树旋转将该节点拉到树的根。为此，我们可以应用以下算法：

while (target node is not the root) {
    if (node is a left child) {
        apply a right rotation to the node and its parent;
    } else {
        apply a left rotation to the node and its parent;
    }
}

这样做的原因是，每次节点与其父节点一起旋转时，其高度都会增加1。因此，在应用上述形式的足够多的旋转之后，我们可以得到树根到树的顶部

这给了我们一个非常简单的递归算法，我们可以使用旋转将任何一个BST重塑为另一个BST。想法如下。首先，查看第二棵树的根节点。在第一棵树中找到该节点（这很容易，因为它是BST！），然后使用上面的算法将其拉到树的根。此时，我们已将第一棵树转换为具有以下属性的树：

第一棵树的根节点是第二棵树的根节点
第一棵树的右子树包含与第二棵树的右子树相同的节点，但可能具有不同的形状
第一棵树的左子树包含与第二棵树的左子树相同的节点，但可能具有不同的形状
因此，我们可以递归地应用相同的算法，使左子树具有与第二棵树的左子树相同的形状，并使右子树具有与第二棵树的右子树相同的形状。由于这些左子树和右子树的每个节点必须严格地不超过n个，根据我们的归纳假设，我们知道这样做总是可能的，因此算法将按预期工作

总之，该算法的工作原理如下：

如果这两棵树是空的，我们就完了
在第一棵树中查找第二棵树的根节点
应用旋转以使该节点到达根
递归地重塑第一棵树的左子树，使其与第二棵树的左子树具有相同的形状
递归地重塑第一棵树的右子树，使其与第二棵树的右子树具有相同的形状
要分析此算法的运行时，请注意，应用步骤1-3最多需要O（h）个步骤，其中h是第一棵树的高度。每个节点都会被精确地提升到某个子树的根，所以我们总共做了O（n）次。由于n节点树的高度从不大于O（n），这意味着该算法最多需要O（n2）个时间来完成。它可能会做得更好（例如，如果两棵树已经具有相同的形状，那么这将在时间O（n）内运行），但这给出了一个很好的最坏情况界限

希望这有帮助
 对于二进制搜索树，这实际上可以在O（n）中完成

任何树都可以被“拉直”，即所有节点都是根或左子节点的形式

此表单是唯一的（从根目录向下读取元素的顺序）

一棵树被拉直如下：


对于任何右子对象，围绕其自身执行左旋转。这会将右侧子级的数量减少1，因此树在O（n）中变直