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Data structures 递归排序函数分析

data-structures time-complexity

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关于数据结构课程中的问题，需要一些帮助： 我得到了mergesort的递归函数（伪代码）：

合并排序1/3（A、p、r） 如果p 以下是问题：

  • 设T（n）为Mergesort _1/3的最坏运行时间。编写T（n）的递归函数。给一个简短的解释
  • 证明T（n）=Ω（nlogn）
    • 经典mergesort的要点是以下递归：

    • 将无序列表一分为二。 它足以计算部分列表的极限偏移量
    • 将合并排序应用于每个部分列表。
      在此步骤之后，将对部分列表进行排序
    • 通过按各自的顺序检查两个列表的元素，从列表中键入并在列表中与较小的元素一起前进，合并已排序的部分列表
    让
    TC（n）
    成为经典合并排序的时间复杂性。上述步骤分别采取
    O（1）
    （*）、
    2*O（TC（ceil（n/2）））
    和
    O（n）
    。这就产生了递归
    TC（n）=cc_0+cc_1*n+2*TC（cel（n/2））

    考虑一下广义的mergesort，其中列表被不均匀地分割，尽管总是具有相同的比率。拆分和合并的复杂度保持不变，这使得广义合并排序的递归
    TG（n）=ca_0+ca_1*n+TG（1/a*n+1）+TG（（a-1）/a*n+1））
    （使用
    TG（x+1）
    而不是
    TG（ceil（x））
    ，
    ca_0
    ，
    ca_1
    是隐藏在
    O（
    中的常量notation；
    a=3
    用于
    mergesort\u 1/3
    ）

    可以使用以下方法解决此重复问题。 为此，需要将重复性编写为

    TG(x) = g(x) + \sum_i=1..k ( a_i * TG(b_i * x + h_i(x) ) ; x >= x_0.
    与

    a_i, b_i const.
a_i > 0
0 < b_i < 1
|g(x)| = O(x^c); c const.
|h(x)| = O(x / (log(x))^2)
    Akra-Bazzi定理要求在
    \sum_i=1..k（a_i*（b_i）^p）=1
    中找到指数
    p
    。那么，以下观点成立：

    TG(x) = Θ ( x^p \integral_(1, x) ( g(u) / (u^(p+1)) du ) )
    具体来说,

        a_1 * b_1^p + a_2 * b_2^p = 1
 => (1/a)^p + ((a-1)/a)^p     = 1
<=> p = 1
    （*）严格来说，这是不正确的，因为二进制表示和内存访问的基本算法是
    O（logn）
    。然而，这对复杂性没有影响。

    经典合并排序的要点是以下递归：

    • 将无序列表一分为二。 它足以计算部分列表的极限偏移量
    • 将合并排序应用于每个部分列表。
      在此步骤之后，将对部分列表进行排序
    • 通过按各自的顺序检查两个列表的元素，从列表中键入并在列表中与较小的元素一起前进，合并已排序的部分列表
    让
    TC（n）
    成为经典合并排序的时间复杂性。上述步骤分别采取
    O（1）
    （*）、
    2*O（TC（ceil（n/2）））
    和
    O（n）
    。这就产生了递归
    TC（n）=cc_0+cc_1*n+2*TC（cel（n/2））

    考虑一下广义的mergesort，其中列表被不均匀地分割，尽管总是具有相同的比率。拆分和合并的复杂度保持不变，这使得广义合并排序的递归
    TG（n）=ca_0+ca_1*n+TG（1/a*n+1）+TG（（a-1）/a*n+1））
    （使用
    TG（x+1）
    而不是
    TG（ceil（x））
    ，
    ca_0
    ，
    ca_1
    是隐藏在
    O（
    中的常量notation；
    a=3
    用于
    mergesort\u 1/3
    ）

    可以使用以下方法解决此重复问题。 为此，需要将重复性编写为

    TG(x) = g(x) + \sum_i=1..k ( a_i * TG(b_i * x + h_i(x) ) ; x >= x_0.
    与

    a_i, b_i const.
a_i > 0
0 < b_i < 1
|g(x)| = O(x^c); c const.
|h(x)| = O(x / (log(x))^2)
    Akra-Bazzi定理要求在
    \sum_i=1..k（a_i*（b_i）^p）=1
    中找到指数
    p
    。那么，以下观点成立：

    TG(x) = Θ ( x^p \integral_(1, x) ( g(u) / (u^(p+1)) du ) )
    具体来说,

        a_1 * b_1^p + a_2 * b_2^p = 1
 => (1/a)^p + ((a-1)/a)^p     = 1
<=> p = 1
    （*）严格来说，这是不正确的，因为二进制表示和内存访问的基本算法是
    O（logn）
    。但是，这对
    Θ（n log n）
    复杂性没有影响。

    这种合并排序将数据分成三个大小相等的块，而不是两个块。因此，您将一个大小为n的问题减少为三个大小为n/3的问题。此外，在合并时，您必须遍历所有三个n/3大小的排序块，这将导致遍历总共n个元素。因此，重现期可以写成：

    • T（n）=3t（n/3）+O（n）
    ：这里a=3，b=3，c=1。Logba=Log33=1=c

    因此，在第二种情况下，递归将下降，T（n）=Θ（nc*Log（n））=Θ（n*Log（n））。

    此合并排序将数据划分为三个大小相等的块。因此，您将一个大小为n的问题减少为三个大小为n/3的问题。此外，在合并时，您必须遍历所有三个n/3大小的排序块，这将导致遍历总共n个元素。因此，重现期可以写成：

    • T（n）=3t（n/3）+O（n）
    ：这里a=3，b=3，c=1。Logba=Log33=1=c

    因此，在第二种情况下，递归将下降，T（n）=Θ（nc*Log（n））=Θ（n*Log（n））