Algorithm 利润最大化的寻路算法

假设我们有一个有向图，其中每条边包含一个元组（d，p），其中d是必须移动的距离，p是通过遍历该边获得的利润，在遍历一条边后，其利润设置为0。我的问题是，给定一个起始节点和最大距离D（这样穿过所有边的∑D），求解最大利润，其中穿过所有边的利润定义为∑p

可以重新访问节点并重新遍历边

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我试图修改dijkstra，但没有成功，因为dijkstra不知道何时停止洪水填充，而且据我所知，在检查所有可能性之前，没有办法保证dijkstra的最佳解决方案。我还研究了TSP的各种变化，这个问题似乎与路径查找有关。任何参考文献、伪代码或已经理解的算法都将不胜感激。当然，我不是在寻找蛮力算法。

考虑到问题的规模，我们可以用整数程序成功地攻击它。对于每个有向边

e

，设

x（e）

为非负整数变量，表示我们使用该边的次数，

y（e）

为0-1变量，表示我们从该边获利的次数。对于每个顶点

v

，将

w（v）

设为0-1变量，指示是否访问

v

，将

z（v）

设为0-1变量，指示

v

是否为结束顶点。integer程序最简单的部分是

maximize sum_e p(e) y(e)
subject to
y(e) <= x(e)            # can't profit from an edge if we don't use it
for all e, y(e) <= w(head(e))    # can't profit unless we visit
for all e, y(e) <= w(tail(e))    # can't profit unless we visit
sum_e d(e) x(e) <= D    # bounded distance
sum_v z(v) = 1          # exactly one ending vertex
# path constraints
for all vertices v, sum_{e with head v} x(e) - sum_{e with tail v} x(e) =
    z(v) - 1 if v is the starting vertex,
    z(v)     otherwise.

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从哈密顿路径归约的NP难问题。与非对称集奖旅行商问题相关。@Davidisenstat是的，感谢您提到它是NP难问题，从我在非对称集奖旅行商问题上所能找到的文献来看，除了只访问一次节点之外，它确实非常相似。@Davidisenstat在进一步阅读后，奖品收集TSP的优化目标似乎与我的目标相去甚远，奖品收集TSP的目标是访问一个子集的节点，使巡更的长度加上所有不在巡更中的节点的惩罚之和尽可能小。对穿越的最大距离没有明显的限制，只是试图将其保持在较低的水平。这不是一个精确的对应关系，但是（在分割每条边以允许中间有奖品之后），您可以通过尝试几个不同的D值，并通过引入拉格朗日乘数，使用APCTSP的算法来很好地近似APCTSP。注意到这种关系的想法与其说是对APCTSP应用现成的算法，不如说是用来攻击APCTSP的想法可能对这个问题有用。我正在写一个想法。从约束开始，我们不是在试图最大化

和p（e）y（e）

？因为重新遍历一条边并不能获得更多的利润，

x（e）

可以大于一。对于这些限制，我不明白为什么必须有

x（e）我也不明白Euler轨迹在这里有什么用处，难道我们不需要事先知道子图来确定Euler轨迹吗？@Bryce219弄糊涂了
x
和
y
，已修复。@Bryce219 Euler轨迹将使用计数转化为实际行走。@Bryce219约束在所选多组边中强制执行Euler轨迹的存在条件：除源和汇外，入度等于出度，加上强连接性（“硬”约束）。最后一个约束是不同的，因为它扩展为指数数量的约束。
for all sets of vertices S containing the starting vertex,
    for all vertices v not in S,
        sum_{directed edges e entering S} y(e) >= w(v)