Algorithm 找到k个彼此最远点的子集

我有一组N个点（特别是这个点是二进制字符串），每个点都有一个离散的度量（汉明距离），因此给定两个点，I和j，Dij是第I点和第j点之间的距离。 我想找到k元素的子集（当然k2时，我怎么能推广这个问题呢？ 有什么建议吗？这是一个NP难问题？

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感谢您的回答

一个概括是“找到k点，使任意两个k点之间的最小距离尽可能大”

不幸的是，我认为这很难，因为我认为如果你能有效地做到这一点，你就能有效地找到派系。假设有人给你一个距离矩阵，让你找到一个k-集团。创建另一个矩阵，其中条目1为原始矩阵的无穷大，条目1000000为原始矩阵的任何有限距离。现在，新矩阵中的一组k点，其中该组中任意两点之间的最小距离为1000000，对应于原始矩阵中相互连接的一组k点-一个团

这种构造没有考虑到点对应于位向量，它们之间的距离是汉明距离，但是我认为可以扩展它来处理这个问题。为了证明一个能够解决原始问题的程序可以用来寻找派系，我需要证明，给定一个邻接矩阵，我可以为每个点构造一个位向量，使得图中连接的点对，以及邻接矩阵中的1，彼此之间的距离大约为a，图中未连接的点对彼此之间的距离为B，其中A>B。请注意，A可能非常接近B。事实上，三角形不等式将迫使这种情况发生。一旦我展示了这一点，相互之间距离为A的所有k点（最小距离为A，距离之和为k（k-1）A/2）将对应于一个团，因此查找此类点的程序将查找团

为此，我将使用长度为kn（n-1）/2的位向量，其中k将随n增长，因此位向量的长度可以达到O（n^3）。我可以这样做，因为这仍然是n中唯一的多项式。我将每个位向量分成n（n-1）/2个字段，每个字段的长度为k，其中每个字段负责表示两点之间的连接或不连接。我声称存在一组长度为k的位向量，因此这些k长位向量之间的所有距离大致相同，只是其中两个比其他两个更接近。我还声称存在一组长度为k的位向量，因此它们之间的所有距离大致相同，只是其中两个比其他两个相距更远。通过在这两个不同的集合之间进行选择，并通过将更近或更远的一对分配给拥有位向量内n（n-1）/2场的当前位场的两个点，我可以创建具有所需距离模式的位向量集合

我认为这些是存在的，因为我认为有一种结构以很高的概率创建了这样的模式。创建长度为k的n个随机位向量。任何两个这样的位向量的期望汉明距离为k/2，方差为k/4，因此标准偏差为sqrt（k）/2。对于较大的k，我们期望不同的距离相当相似。要在此集合中创建两个非常接近的点，请将其中一个点复制到另一个点。要创建两个相距很远的点，请将其中一个点设为另一个点的“非”（其中一个点为0，另一个点为1，反之亦然）

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给定任意两点，它们之间的预期距离为（n（n-1）/2-1）k/2+k（如果它们相距很远）和（n（n-1）/2-1）k/2（如果它们相距很近）我在没有证据的情况下宣称，通过使k足够大，预期的差异将战胜随机变化，我将得到我所需要的相当于A和相当于B的距离。

@mcdowella，我想我可能没有很好地解释我的问题。 在我的问题中，我有一个二进制字符串，对于它们中的每一个，我可以使用汉明距离计算到另一个的距离 这样我就得到了一个距离矩阵D，它在每个元素D（I，j）中都有一个有限值。 我可以像一个图一样看到这个距离矩阵：事实上，每一行都是图中的一个顶点，在列中我有连接顶点Vi和顶点Vj的弧的权重。 这个图表，出于我解释的原因，是完整的，它本身就是一个集团。 由于这个原因，如果我从原始图中随机选取k个顶点，我会得到一个同样完整的子图。 从所有可能的k阶子图中，我想选择一个最好的。 最好的是什么？是这样一个图：顶点之间的距离尽可能大，但也尽可能均匀。 假设我的子图中有两个顶点v1和v2，它们的距离是25，我还有另外三个顶点v3，v4，v5，这样 d（v1，v3）=24，d（v1，v4）=7，d（v2，v3）=5，d（v2，v4）=22，d（v1，v5）=14，d（v1，v5）=14

根据这些距离，v3距离v1太远，但非常接近v2，而v4的情况正好相反，距离v2太远，但接近v1。 相反，我更喜欢将顶点v5添加到我的子图中，因为它与其他两个顶点的距离更为均匀。 我希望现在我的问题清楚了。

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你认为你的公式已经正确了吗？

我已经声明，找到k点的问题是