Algorithm 该算法的复杂度如何达到O（n^2）？

设v为树T的节点。节点v的深度可定义如下：

• 如果v是根，则v的深度为1
• 否则，v的深度为1加上v父对象的深度

基于上述定义，递归算法depth（如下面的算法所示）通过递归调用v的父节点来计算树的节点v的深度，并将返回的值加1

算法

深度（T，y）

：

• 步骤1：如果

  T.isRoot（v）

  ，则返回

  1

• 步骤2：否则，返回

  1+深度（T，T.父级（v））

树T的高度等于T的外部节点的最大深度。虽然此定义是正确的，但它不会产生有效的算法。事实上，如果我们将上述深度查找算法应用于树T中的每个节点，我们将导出一个O（n2）时间算法来计算T的高度

根据上面的陈述，它怎么可能是O（n2）？如果我们在每个外部节点上尝试此算法，则需要O（n），并且要找到最大值，则需要O（n）。所以总的复杂度应该是O（n）+O（n）=O（2n）=O（n），对吗

如果我们在每个外部节点上尝试此算法，则需要O（n）

这是不对的。您将应用算法

n

次，其中每个调用占用

O（n）

时间，这将导致总共

O（n^2）

时间

---

当然，这是假设没有结果的缓存/记忆（因此我们正在做大量重复的工作）。如果有，那么它确实总共是

O（n）

。

算法的最坏情况是一棵不平衡的树。例如，如下图所示的树：

上面的树有5个外部节点和5个内部节点，因此正好有一半的节点是外部节点。从A开始，有一个父级。从B开始，有2个，等等。因此访问的家长总数（

P

）为

1+2+3+…+（n/2）

使用

p=（n/2）（n/2+1）/2=（n^2+2n）/8

。忽略常数因子（8）和不太占优势的项（2n），我们可以看到

P

是O（n^2）。

在渐近表示法中，n^2可能意味着，对于访问的每个节点，最大n或n-1的节点数都是可变的。 让我们考虑一下：

---

当您为节点1调用递归函数时，它会立即返回，但当您为节点5调用递归函数时，您需要重新计算所有节点的深度，直到节点1，这意味着您访问了所有其他节点，因为您没有使用记忆。因此，对于每个节点，你都要访问[1到n-1个节点]。

如果你应用记忆化，那么你必须考虑边缘的数量，你不能直接说它是O（n）。相反，它应该是O（n+E），因为我们不知道n和E中的哪一个占主导地位，因为它们都是幂1。这是一棵树，所以根据定义它有n-1条边@MateenAh！对但对于该算法的推广仍然是如此。