Algorithm 旋转矩阵的特征重正交化

在乘以大量旋转矩阵后，由于舍入问题（非正交化），最终结果可能不再是有效的旋转矩阵

重新正交化的一种方法是遵循以下步骤：

将旋转矩阵转换为轴角度表示形式（）

将轴角度转换回旋转矩阵（）

图书馆里有没有什么东西通过隐藏所有细节来做同样的事情？还是有更好的食谱

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由于特殊的奇点情况，此过程必须小心处理，因此如果Eigen提供了一个更好的工具，这将是非常好的。

我不使用Eigen，也没有费心查找API，但这里有一个简单、计算廉价且稳定的过程来重新正交旋转矩阵。此正交化过程取自 威廉·普莱梅兰尼和保罗·比扎德；方程19-21

设

x

、

y

和

z

为（稍微混乱的）旋转矩阵的行向量。设

error=dot（x，y）

其中

dot（）

是点积。如果矩阵是正交的，

x

和

y

的点积，即

误差

为零

错误

平均分布在

x

和

y

上：

x_-ort=x-（错误/2）*y

和

y_-ort=y-（错误/2）*x

。第三行

z_-ort=cross（x_-ort，y_-ort）

，根据定义，它与

x_-ort

和

y_-ort

正交

现在，您仍然需要规范化

x_-ort

、

y_-ort

和

z_-ort

，因为这些向量应该是单位向量

x_new = 0.5*(3-dot(x_ort,x_ort))*x_ort
y_new = 0.5*(3-dot(y_ort,y_ort))*y_ort
z_new = 0.5*(3-dot(z_ort,z_ort))*z_ort

就这些，我们都做了

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使用Eigen提供的API应该很容易实现这一点。你可以很容易地想出其他的拼音程序，但我不认为这会在实践中产生明显的不同。我在我的运动跟踪应用程序中使用了上述程序，它工作得非常好；它既稳定又快速。

您可以使用QR分解系统地重新正交化，用Q因子替换原始矩阵。在库例程中，如有必要，您必须通过对Q中的相应列求反来检查和更正R的对角线项是否为正（如果原始矩阵接近正交，则接近1）

最接近给定矩阵的旋转矩阵Q由极分解或QP分解获得，其中p是半正定对称矩阵。QP分解可以迭代计算，也可以使用SVD计算。如果后者具有因子分解USV'，则Q=UV.

同时：

#include <Eigen/Geometry>

Eigen::Matrix3d mmm;
Eigen::Matrix3d rrr;
                rrr <<  0.882966, -0.321461,  0.342102,
                        0.431433,  0.842929, -0.321461,
                       -0.185031,  0.431433,  0.882966;
                     // replace this with any rotation matrix

mmm = rrr;

Eigen::AngleAxisd aa(rrr);    // RotationMatrix to AxisAngle
rrr = aa.toRotationMatrix();  // AxisAngle      to RotationMatrix

std::cout <<     mmm << std::endl << std::endl;
std::cout << rrr     << std::endl << std::endl;
std::cout << rrr-mmm << std::endl << std::endl;

#包括
本征：：矩阵3d-mmm；
本征：：矩阵3D rrr；
rrr应该非常稳健。引用参考文献：

设M=U∑V为M的奇异值分解，则R=UV

对于矩阵，∑中的奇异值应该非常接近1。矩阵R保证为，这是旋转矩阵的定义性质。如果在计算原始旋转矩阵时没有任何舍入错误，那么R将与M完全相同，在数值精度范围内。
另一种方法是使用
特征：：四元数来表示旋转。这更容易规范化，而且
rotation*rotation
产品通常更快。如果你有很多旋转*向量的乘积（使用相同的矩阵），你应该将四元数局部转换成3x3矩阵。
“感谢迄今为止的答案！”在Stackoverflow，我们不说谢谢，而是向上投票和/或接受答案。“一个人怎么能确定他处理了所有的奇点呢？”我猜它假设
rrr
实际上是一个旋转矩阵。如果它不是（这就是你的问题所在，你的旋转矩阵被弄乱了），那么它很可能是做错了什么。这种方法似乎更像是一种特殊的破解，而不是一种解决方案。实际上不需要计算角度，只需将轴旋转矩阵相乘即可，而无需担心象限和奇点。这是使用Givens旋转方法进行的QR分解。如果您想改进A=QR分解，请检查R的非对角部分是否小，并使用Q*（I+（R-R'）/2）作为更好的近似值。如果（R-I）稍大，则使用更好的近似值I+（R-R'）/2+（R-R'）^2/8或精确值来计算（R-R'）/2的矩阵指数。（R'=R的转置，首先从矩阵中识别k，然后应用公式。）If肯定会给出比我的答案中的过程更好的结果，但代价是计算成本明显更高。是的，应该做最简单的事情。这个问题没有给出一个维度，所以它可能是3D的，就像你的答案一样，或者是其他的东西。[[Easy in 3D也是使用Givens旋转的QR分解（恰好使用旋转矩阵的Euler角表示）。编辑：我看到问题中提到了这一点，所以是3D。]]无论如何，至少我对你的答案投了赞成票。：）（虽然OP在我看来应该已经这样做了。）Hi Lutzl，在Eigen:
rotation.householderQr（）.householderQ（）中进行QR分解并获得Q矩阵很容易。不过，我不太熟悉户主的方法。这够好吗？另外，请您在回答中详细说明“检查并更正”和“否定相应列”作为额外步骤？任何参考资料或代码示例都会很好！通过将QR分解应用于单位矩阵
I
进行测试。结果可能是
[Q，R]=[-I，-I]
。这是因为Householder反射被选择为最稳定的，即避免被零或接近零分割。应该注意的是，这里的标准化过程使用泰勒展开来近似向量大小。如果高精度