Algorithm 两个鸡蛋掉落拼图变奏：未知/无限楼层

前言

这个问题是受上周一个类似问题的启发，所以在真正的问题是什么之前就被删除了。我认为这种变化是一个很好的问题，我想与大家分享

两个鸡蛋问题

可以找到详细的定义和解决方案，但我将添加一个快速摘要：

定义

你有两个鸡蛋，可以进入一幢

k

层高的大楼。两个蛋 都是一样的。目的是找出最高层

f*

，其中 鸡蛋从那层楼的窗户掉下来是不会碎的。如果 鸡蛋掉落并且不会破裂，它完好无损并且可以掉落 再一次。然而，一旦一个鸡蛋破了，这就是它的蛋。找到

f*

的fastes（最小滴数）方法是什么

解决方案

这个想法是把第一个鸡蛋从地板上扔下来

sqrt（k），2*sqrt（k），3*sqrt（k）。。。k

。如果蛋在楼层

i*sqrt（k）

处破裂，使用第二个蛋测试

（i-1）*sqrt（k）

和

i*sqrt（k）-1之间的剩余楼层。总体而言，这将导致最多
2*sqrt（k）
下降，因此复杂性将
O（sqrt（k））

为了完整性：有一种方法在最坏的情况下下降较少（可以找到详细信息），但其复杂性与
O（sqrt（k））

问题：具有无限/未知楼层的两个鸡蛋问题

现在假设您没有关于楼层数的信息
k
或
k
是无限的。是否有可能发现
f*
比只在
O（f*）
中测试每个楼层更有效

换句话说：是否有一种有效的方法来丢弃运行时复杂度与
k
无关但仅取决于答案
f*
？有一种简单的方法具有O（sqrt（f*）复杂度。将第n步设置为向上n层，即检查第1层、第3层（1+2层）、第6层（1+2+3层）等。这样，在第n步中，您将位于n*（n+1）/2层，并且您将在n=O（sqrt（f*）步中到达f*

然后，对于第二个鸡蛋，您需要在第1阶段的最后一个步骤上执行n个单步，这将添加另一个O（sqrt（f*））

如果O（sqrt（k））对于已知的k是最优的，那么该方法在复杂性方面也必须是最优的。
对于两个蛋的无限问题，次优解是使用序列
1，2^2，3^3，i^2，…
并从第二条边开始，第一个鸡蛋保留的最后一个值。因此，如果第一条边保持在
n^2
，那么下一条边将最多进行
2*n+1-1
（从第一条边减去1）测试，以得出在
n=sqrt（m）
的最坏情况下
3*n
的总数