Algorithm 为什么执行n个联合查找（按大小联合）操作的时间复杂度为O（n log n）？

在基于树的联合查找操作实现中，每个元素都存储在一个节点中，该节点包含指向集合名称的指针。集指针指向v的节点v也是集名称。每个集合都是一棵树，根在具有自引用集合指针的节点上

要执行并集，我们只需使一棵树的根指向另一棵树的根。为了执行查找，我们从起始节点开始跟踪集合名称指针，直到到达集合名称指针指向自身的节点为止

在Union by size->执行联合时，我们将生成较小树的根 指向较大的根。这意味着O（n logn）时间 正在执行联合查找操作。每次我们跟随一个指针，我们都会指向一个子树，其大小最多是前一个子树的两倍。因此，对于任何查找，我们最多只遵循O（logn）指针

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我不明白对于每个联合操作，查找操作总是O（logn）。有人能解释一下最坏情况的复杂性是如何计算的吗

现在让我们假设每个高度为h的树至少包含2^h个节点。如果你把两棵这样的树连在一起会发生什么

如果它们的大小不同，则组合树的高度与较高树的高度相同，因此新树仍有2^h以上的节点（相同高度但节点更多）

现在，如果它们的高度相同，则生成的树的高度将增加1，并且将至少包含2^h+2^h=2^（h+1）个节点。因此，这种情况仍然存在

最基本的树（1个节点，高度0）也满足该条件。因此，所有可以通过连接两棵树来构建的树也可以实现它

现在，高度只是在查找过程中要遵循的最大步数。如果一棵树有n个节点和高度h（n>=2^h），这将立即给出log2（n）>=h>=步数。

您可以执行n个联合查找（按秩或大小联合）操作，其复杂性O（n lg*n）其中lg*n是最常用的

请注意，O（nlg*n）比O（nlogn）

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在这个问题中，你可以找到这个关系的细节。

我们需要证明树的最大高度是log（N），其中N是UF

（1）

在基本情况下，所有树的高度都为0<代码>（1）当然满意

现在假设所有树都满足（1），我们需要证明将任意2棵树与i，j（i）连接

max(log(j), 1 + log(i)) = max(log(j), log(2i)) <= log(i + j) => (2) proved