Algorithm DP中的递归和n阶示例

我是动态规划的新手，我看了这个例子

你要爬n级台阶。一次只能爬1到2步。 找到达到第n步的方法

溶液为..T（n）=T（n-1）+T（n-2）

我做的最后一步是什么

我不是在n-1步就是n-2步。现在，达到第n步的方法数怎么可能是达到n-1步和n-2步的方法数之和呢。我无法获得推理所需的直觉。请帮助

p.S我可以用递归编写代码。

到达第（n-2）步然后做一个2步的方法，以及到达第（n-1）步和第一步的方法是不相交的，因为它的最后一步是不同的，没有其他方法可以到达第n步，而不绕过（n-1）或（n-2），这些方法已经为（n-1）和（n-2）计算过了

现在，达到第n步的方法的数量怎么可能是 达到n-1步和n-2步的方法数量

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这样想。您正处于

n

th步骤。考虑到你可以一次爬一步或两步，你是如何到达那里的？那么，您的上一步必须位于步骤

n-1

（采取1步）或步骤

n-2

（采取2步）。现在，有

T（n-1）

方法达到

n-1

th步骤，有

T（n-2）

方法达到

n-2

th步骤，这意味着如果您的最后一步是

n-2

和

T（n-1），则有
T（n-2）
方法达到
n

如果您的最后一步是在

n-1

到达

n

的方法。这是你最终到达

n

的唯一两种可能性，因此到达

n

第四步的方法总数是

T（n-1）+T（n-2）

。希望这有帮助

动态规划解决方案

T（n）=T（n-1）+T（n-2）

基本上是求

n

th fibonacchi数的递归算法。现在，如果我正确理解了您的问题，您正在尝试为这个问题找到一个动态规划解决方案

使用DP，我们只需保留以前答案的记忆，并根据以前的答案计算新答案。这基本上可以归结为：

int[] s = new int[n]
s[0] = 0;
s[1] = 1;

for(int i = 2; i < n; i++) {
    s[i] = s[i - 1] + s[i - 2];
}

return s[n - 1] + 1;

对于3个步骤，解决方案是

（1+1）+1=3

：

1 + 1 + 1
1 + 2
2 + 1

对于4个步骤，解决方案是

（1+1+2）+1=5

1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 2
1 + 2 + 1
2 + 1 + 1
2 + 2

对于5个步骤，解决方案是

（1+1+2+3）+1=8

1 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 2
1 + 1 + 2 + 1
1 + 2 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 2 + 2
2 + 1 + 2
2 + 2 + 1

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让我们深入一点

我做的最后一步是什么

这不能用我们得到的信息来确定。最后一步完全取决于我们选择的行走顺序。然而，我们能做的是找到最后一步是2步或1步的概率。如上图所示，最后一步的概率为1：

P(1) = 1 / 1 = 100.0%
P(2) = 1 / 2 =  50.0%
P(3) = 2 / 3 =  66.6%
P(4) = 3 / 5 =  60.0%
P(5) = 5 / 8 =  62.5%

我们可以看到，分子和分母都遵循相同的模式；分子只是分母前面的一个斐波纳契数

因此，最后一步的概率为1：

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), F(0) = 0, F(1) = 1, n >= 0

P(n) = F(n) / F(n - 1), n >= 2

当

n

接近无穷大时，

1/p（n）

的递归公式实际上限制在

（1+sqrt（5））/2

处，这可能更为人所知

知道这一点后，最后一步为1的概率为

1/（（1+sqrt（5））/2）

，也可以写成

2/（1+sqrt（5））

。因为这大于0.5，我们可以说最后一步可能是1

您可以在中看到完整的计算。

检查此链接的可能副本：

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), F(0) = 0, F(1) = 1, n >= 0

P(n) = F(n) / F(n - 1), n >= 2