Algorithm 有没有办法得到一条与3个球体相交的线？_Algorithm_Geometry_Intersection

Algorithm 有没有办法得到一条与3个球体相交的线？

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Algorithm 有没有办法得到一条与3个球体相交的线？,algorithm,geometry,intersection,Algorithm,Geometry,Intersection,我试图找到一种方法来得到一条线（从我目前的观点来看），它与3个球体相交。它们靠得很近，可能不会每次都相交。我还认为可以把它想象成圆圈和重叠部分。是的，肯定有办法。你可以把这个问题表述为三个二次不等式。我假设坐标系的原点是视角。如果没有，则必须执行从表示配置的任何坐标系到视图坐标系的更改。您有球体的圆心P1、P2、P3的坐标及其相应的半径r1、r2、r3。您正在寻找一个向量，该向量与穿过视点（坐标系原点）并与所有三个球体相交的直线对齐。您可以认为屏幕距离h（h可以简单地设置为1），平行于视图坐标

我试图找到一种方法来得到一条线（从我目前的观点来看），它与3个球体相交。它们靠得很近，可能不会每次都相交。

我还认为可以把它想象成圆圈和重叠部分。

是的，肯定有办法。你可以把这个问题表述为三个二次不等式。我假设坐标系的原点是视角。如果没有，则必须执行从表示配置的任何坐标系到视图坐标系的更改。您有球体的圆心

P1、P2、P3

的坐标及其相应的半径

r1、r2、r3

。您正在寻找一个向量，该向量与穿过视点（坐标系原点）并与所有三个球体相交的直线对齐。您可以认为屏幕距离

（

可以简单地设置为1），平行于视图坐标系的两个坐标轴。例如，屏幕与x，y平面平行，因此可以将向量表示为

V=[V_x，V_y，h]

。然后，当以下关于

的二次不等式成立时，由

确定的直线正好与三个球体相交：

(r1**2 - dot(P1,P1)) * dot(V,V) + (dot(P1,V))**2 > 0 
(r2**2 - dot(P2,P2)) * dot(V,V) + (dot(P2,V))**2 > 0 
(r3**2 - dot(P3,P3)) * dot(V,V) + (dot(P3,V))**2 > 0

在接下来的内容中，我建议使用一种几何方法，它允许您找到上述不等式的解决方案。然而，由于存在各种特殊（称为退化）情况，我们必须回顾不同的场景，这足以让我们不想把这些完全写下来。我将为一般（非退化）情况编写一个算法。我假设离原点最近的球体是完全可见的，而其他两个球体既有可见部分也有不可见部分（从您的角度来看，这三个球体存在重叠，即不等式有一个解决方案）

这个想法是，给定两个球体和一个视点，使得一个球体，距离越远的一个，既有可见的部分，也有不可见的部分，那么在视点中正好存在两条直线，它们与两个球体相切。因此，在三个球体S1、S2、S3的情况下，对于任意一对球体Si和Sj，求出与球体Si和Sj的切线对齐的单位向量Vk，使得所述切线也与第三个球体Sk相交。因此，如果您将三个球体投影到屏幕上，从角度看，三个单位向量V1、V2、V3指向球体投影的公共交点的三个顶点（这是一个凸集，因为它是凸集的交点，即椭圆）。因此，三个向量的质心指向投影的公共交点内的一点（因为后者是凸的）。因此，它确定了一条与所有三个球体相交的线

注意，还有许多其他更为特殊的情况，球体可能位于不同的位置，因此您也必须覆盖它们。我将不得不检查下面的粗略代码是否有错误（下次）

将numpy导入为np
输入数学
#我假设你的观点是坐标系的原点，如果不是，
#无论坐标系是什么，都必须执行平移
#在视图坐标系中
# 
#由圆心和半径定义的3个球体为
P1，r1
P2，r2
P3，r3
def区域（a、b、c）：
p=（a+b+c）/2
返回数学sqrt（p*（p-a）*（p-b）*（p-c））
def管路_穿过_球体（V、P、r）：
返回（r**2-np.dot（P，P））*np.dot（V，V）+（np.dot（P，V））**2>0
def公共切线（P1、r1、P2、r2、P3、r3）：
l1=数学sqrt（np.点（P1，P1））
l2=数学sqrt（np.dot（P2，P2））
d1=数学sqrt（l1**2-r1**2）
d2=数学sqrt（l2**2-r2**2）
a1=l1/d1
a2=l2/d2
b1=r1/d1
b2=r2/d2
A1=A1*P1/l1
A2=A2*P2/l2
c=数学sqrt（np.dot（A2-A1，A2-A1））
hc=2*面积（a1、a2、c）/c
c1=数学sqrt（a1**2-hc**2）
c2=数学sqrt（a2**2-hc**2）
如果c

P1、P2、P3