Arrays 数组分区I（如何用数学证明这一点）

这是leetcode提出的问题

给定一个整数数组

nums

的

2n

整数，将这些整数分组为

n对
（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn）
，以使所有
i
的
min（ai，bi）
之和最大化。返回最大化的总和

Input: nums = [1, 4, 3, 2]
Output: 4

说明：所有可能的配对（忽略元素顺序）为：

所以最大可能的总和是4

我通过尝试多个示例解决了这个问题，并发现如果我像
12 | 3 4
那样对这对进行排序和排列，那么每对的最小值就是我想要的。由于数组已排序，最小值的位置是固定的；因此，我可以通过索引+2获得值。虽然它能工作，但它更像一个喷口。有人知道如何用数学证明这一点，从而使逻辑更加严密吗

def arrayPairSum(nums: List[int]) -> int:
    nums_sort = sorted(nums)
    res = 0
    i = 0
    while i < len(nums):
        res += nums_sort[i]
        i += 2
    return res

def arrayPairSum（nums:List[int]）->int:
nums_sort=已排序（nums）
res=0
i=0
而我
您可以使用归纳法。假设您有一个排序数组
a
。最小的数字，
a[0]
将始终是它出现在任何对中的最小数。如果您选择其合作伙伴为
a[1]
，则会出现最大和，即次最小的数字。您可以通过选择另一个编号
a[m]
作为其合作伙伴来显示这一点。在这种情况下，其他对中至少有一对将具有最小的
a[1]
，根据定义，该最小值小于其他情况下的值。您可以继续将相同的参数应用于其余元素
a[2://code>

或者，您可以从另一端开始
a[-1]
保证不会出现在总和中，因为它是它将出现在任何对中的最大值。如果将其与
a[-2]
以外的任何对象配对，则总和不会最大化：一些较小的
a[m]
将表示总和中包含
a[-1]
的对，而
a[-2]
将大于与其配对的任何
a[n]
，因此不会出现在总和中

两个参数产生相同的结果：最大和超过排序数组的偶数索引

如注释中所述，以下两种实现将比原始
for
循环更有效：

def arrayPairSum(nums: List[int]) -> int:
    return sum(sorted(nums)[::2])

或

后者进行适当的排序，如果允许的话，可能会更快。
这不是您所要求的，但函数体可以被一行的
返回和（排序（nums）[：2]）替换。
@JohnColeman。接得好
def arrayPairSum(nums: List[int]) -> int:
    return sum(sorted(nums)[::2])

def arrayPairSum(nums: List[int]) -> int:
    nums.sort()
    return sum(nums[::2])