在Mathematica中寻找比奈形式

假设我有一个线性递归*并且我想找到它的闭合形式‘Binet’表示。在Mathematica中有没有一个好的方法可以做到这一点

---

这似乎是一个非常基本的要求，当然有很多自然的方式让Mathematica为我做这件事。但到目前为止，我尝试过的一切都失败了：它一直在翻腾，直到内存使用量如此之高，操作系统不得不关闭它，或者它发出警告，说它不知道如何简化简单表达式†，等等。如果问题很难的话，我可以理解这一点，但这不是考虑特征方程，找到根，然后解线性系统。我最近一次尝试这个（程序崩溃）是在一个9度的例子上，我只是不认为一个9乘9的线性系统应该那么难解

当然，我不是唯一一个需要不时这样做的人！正确的方法是什么

我的会话失败了，所以我没有我尝试过的确切代码。有一个解决方案创建了一个带有递归及其初始点的列表，并使用RSolve。另一个发现并分解了特征方程，并将n次方的适当根乘以对应于多重性的多项式，系数由C[i]生成。我还尝试用各种方法解决和减少问题

*或者一个有理生成函数。实际上，我将从一个

列表

开始，该列表中的数字以小于其长度一半的重复次数进行描述，

FindLinearRecurrence

或

findgegeneratingfunction

可以进行不太困难的转换

---

†例如，当我要求它解决一个重复问题时，它在计算过程中被sin^2（3pi/14）+cos^2（3pi/14）卡住了，说精度不够。你可能认为它可以象征性地简化类似的东西，但不是。

我不知道Binet形式，但解决了你对简化的担忧：

expr = Sin[3 pi/14]^2 + Cos[3 pi/14]^2;

Simplify[expr]

---

1我不确定这是否是你的想法，但你可以这样做

Binet[ker_List, init_List] := 
 Module[{charp, roots, polynomials, coeffs, base, p}, 
  roots = Tally[
    N@Eigenvalues[
      PadLeft[Append[IdentityMatrix[Length[ker] - 1], Reverse[ker]]]]];
  coeffs = Table[p[i, j], {i, Length[roots]}, {j, roots[[i, 2]]}];
  polynomials = 
   Table[(Evaluate[i.#^Range[0, Length[i] - 1]]) &, {i, coeffs}];
  base = roots[[All, 1]];
  {polynomials /. 
    Solve[Table[
       Through[polynomials[n]].base^n == init[[n + 1]], {n, 0, 
        Length[init] - 1}], Flatten[coeffs]][[1]], base}]

然后，对于线性递归

kernel

和初始值

init

，

Binet[kernel，init]

返回两个列表。第一个包含多项式，第二个包含特征多项式的根。然后，递归表中的

n

-th项等于

a[kernel，init][n]

，其中

a[kernel_, init_] := Evaluate@Module[{p, b}, 
   {p, b} = Binet[kernel, init];
   Through[p[#]].b^#] &

例如，对于斐波那契序列，你会得到

kernel = {1, 1};
init = {1, 1};
{p, b} = Binet[kernel, init]

(* ==> {{0.723607 &, 0.276393 &}, {1.61803, -0.618034}} *)

With[{sol = a[{1, 1}, {1, 1}]}, 
  Table[Chop@sol[n], {n, 0, 10}]];

(* ==> {1., 1., 2., 3., 5., 8., 13., 21., 34., 55., 89.} *)

---

你是说这个吗？如果是这样的话，就不会有一个函数来为您完成它，但它看起来并不像是一个太糟糕的程序来编写。@Searke:是的。对于某些列表，任何线性递归都有一个形式为

a[n_]：=和[多项式[[i]][n]*基[[i]]^n，{i，1，k}]

的公式，用于多项式和长度为k的基。我想找到这些清单。我写的四个程序都没有给出答案：这些程序都是正确的，但Mathematica由于我上面概述的原因无法解出这些方程。我正在寻找一种绕过Mathemastica局限性的方法。我可以从头开始编写一个程序来实现这一点，不使用Mathematica的符号功能，但在这种情况下，我也不会使用Mathematica——如果不能使用任何高级功能，为什么要支付性能成本呢？“这似乎是一个非常基本的要求”。嗯，考虑到我以前从未听说过Binet表示，它可能不是那么基本（但可能就是我）。上面提到的Mathworld引理上的两个Binet形式似乎很容易被RSolve解决，尽管似乎给出了正确的结果。顺便问一下，你的列表中有什么？一个简单的输入和期望的输出示例会很有帮助。是的，如果我直接输入它，它可以简化它。但是，当它在计算过程中遇到它时，它不仅不会简化它，而且会完全结束计算。@Charles，很抱歉，这没有什么帮助。你能给我一个简短的代码示例吗？Mathematica对此感到窒息？表达式是在计算过程中生成的，还是在计算过程中明确给出的（在这种情况下，可以先简化）。我从来没有输入过Sin，它是由Mathematica生成的，Mathematica认为没有它就无法完成计算。如果它完成了计算并没有简化，我可以使用

Simplify

，

FullSimplify

，甚至

/。

来摆脱它，但它没有。不过，我会给努力加1。：）Mathematica崩溃时，我丢失了确切的表达式，但我将尝试找到另一个给出相同消息的表达式。这似乎有效，谢谢。Mathematica是否有可能在这里用

根对象（或它们存在时的简化等价物）给出精确解？Charles尝试删除特征值前的N@并看看这在速度和正确性方面是否有效。（我认为这是正确的，但不确定结果的速度或大小。）我也怀疑人们可以从RSolve结果中得到这种形式，但我不太清楚Binet形式是什么。好的，我删除了
N@
并运行
f=Binet[{2，-1,0,0,0,0,1，-2,1}，{2,3,4,5,6,7,10,13,16}]
。（这是前面导致崩溃的示例。）当然，
f[[1]][[i]]
是函数，所以我对它们进行了评估，将它们转换为可以简化的数字
f[[1][[1]][]
，
f[[1][[2]][]]
等工作正常，但由于某种原因，
f[[1][[5]]][
没有工作：它给出了一个
函数：：slotn
错误。知道为什么吗？旁注：到目前为止，该函数的叶数为508300，有点高。这花了我一段时间，但我的手简化版本（不在Mathematica中，但不使用任何特殊命令）是43个字符长；它的Mathematica等价物稍长一些，有63个字符，叶数为29。所以我觉得我有一个
kernel = {1, 1};
init = {1, 1};
{p, b} = Binet[kernel, init]

(* ==> {{0.723607 &, 0.276393 &}, {1.61803, -0.618034}} *)

With[{sol = a[{1, 1}, {1, 1}]}, 
  Table[Chop@sol[n], {n, 0, 10}]];

(* ==> {1., 1., 2., 3., 5., 8., 13., 21., 34., 55., 89.} *)