C 这个乘法算法的时间复杂度是多少？

对于经典的面试问题“在没有乘法运算符的情况下如何执行整数乘法？”，最简单的答案当然是以下C语言中的线性时间算法：

int mult(int multiplicand, int multiplier)
{
    for (int i = 1; i < multiplier; i++)
    {
        multiplicand += multiplicand;
    }

    return multiplicand;
}

int mult（int被乘数，int乘数）
{
对于（int i=1；i被乘数+=被乘数；
}
返回被乘数；
}

当然，还有一种更快的算法。如果我们利用位向左移位等于移位位数的幂乘以2的特性，我们可以将位向上移位到最接近的幂2，并使用我们以前的算法从那里相加。因此，我们的代码现在看起来像这样：

#include <math.h>

int log2( double n )
{
    return log(n) / log(2);
}

int mult(int multiplicand, int multiplier)
{
    int nearest_power = 2 ^ (floor(log2(multiplier)));
    multiplicand << nearest_power;
    for (int i = nearest_power; i < multiplier; i++)
    {
        multiplicand += multiplicand;
    }

    return multiplicand;
}

#包括
整数log2（双n）
{
返回日志（n）/log（2）；
}
int mult（int被乘数，int乘数）
{
整数幂=2^（下限（对数2（乘数））；
被乘数Edit

让我们看看第二个发布的算法，首先是：

int nearest_power = 2 ^ (floor(log2(multiplier)));

我相信计算log2，相当令人高兴的是，是O（log2（乘数））

然后最近的_幂到达区间[multiplier/2 to multiplier]，其大小为multiplier/2。这与查找正数的最高设置位相同

所以

循环的

是O（乘数/2），常数是1/2，所以是O（n）

平均来说，它是间隔的一半，是O（乘数/4）。但这只是常数1/4*n，所以它仍然是O（n），常数更小，但仍然是O（n）

更快的算法

我们的直觉是，我们可以在n步中乘以一个n位数

在二进制中，这是使用1位移位、1位测试和二进制加法来构造整个答案。每个操作都是O（1）。这是长乘法，一次一位

如果我们对n使用O（1）运算，一个x位数字，它是O（log2（n））或O（x），其中x是数字中的位数

这是一个O（log2（n））算法：

int mult(int multiplicand, int multiplier) {
    int product = 0;

    while (multiplier) {
        if (multiplier & 1) product += multiplicand;
        multiplicand <<= 1;
        multiplier >>= 1;
    }

    return product;
}

int mult（int被乘数，int乘数）{
int乘积=0；
while（乘数）{
如果（乘数&1）乘积+=被乘数；
被乘数=1；
}
退货产品；
}

这本质上就是我们如何做长乘法

当然，明智的做法是使用较小的数字作为乘数

这只适用于正值，但通过测试和记住输入的符号，对正值进行操作，然后调整符号，它适用于所有数字。
可以大到
乘法器的一半，当它趋于无穷大时，常数
0.5
就可以了esn无所谓（更不用说我们去掉了大O中的常量）。因此循环是
O（乘法器）
。我不确定位移位

编辑：我更详细地了解了位移位。正如gbulmer所说，它可以是
O（n）
，其中
n
是移位的位数。但是，在某些体系结构上，它也可以是
O（1）
。请参阅：

然而，在这种情况下，这并不重要！
n>log2（n）
对于所有有效的
n
。因此我们有
O（n）+O（乘数）
，它是
O（2*乘数）
的一个子集，由于上述关系，因此整个算法是
O（乘数）
查找最近幂的目的是使函数运行时接近运行时O（1）。当2^最近幂与添加的结果非常接近时，会发生这种情况

在幕后，整个“2的幂”是通过位移位完成的

因此，为了回答您的问题，您的代码的第二个版本仍然是更糟糕的线性时间：O（乘数）。

你的答案O（n-2^（floor（log2（n）））也没有错；它非常精确，可能很难在你的头脑中快速找到边界。
multipliand+=multipliand；Fixed-谢谢你指出这一点。你的第一个算法不是乘法算法，但结果是
multipliant*pow（2，multiplier）
，不是吗？啊，一个接一个的错误…谢谢你指出，修复了。@HerroRygar-值得注意的是，这两个错误只适用于正乘法器（我的位移位和加法也有这个问题）。这也不是
log2（）
和移位乘法一样昂贵？你有这个算法的一个例子的链接吗？当然，虽然我认为你可能了解一些东西。=@HerroRygar-我已经发布了算法所以，我现在看到的只是一个最佳情况常数时间，平均情况和最坏情况线性？你可以看看最佳、平均和最坏情况；你可以n还可以查看大O等符号给出的渐近界。这取决于你想看到什么。查看维基百科上的大O符号、小O符号、θ符号以及大小ω。大O是最常用的一种：问题中用于推导2的最近幂的技术比O（log2（n））差，所以O（1）然后是一个O（n）加法-（x-1和x/2）之间的距离是x/4，这仍然是O（x），但是如果有一个较小的连续位移位是O（log2（乘法器））或O（log2（min（乘法器，被乘数）），请看我的回答：1位移位是O（1）（在我所知道的所有现代机器上），IMHO，对于这个问题，n位移位可能是O（1）并不相关。乘法需要n个1位移位，其中n实际上是最高的设定位，为简单起见，它是乘法器中的位数。总结：任意数量的移位可能是O（1）并不重要，因为我们只需要1位移位，但我们需要其中的n位乘以n位乘法器，因为我们需要能够在每个移位后进行加法。