C 当y是整数时，fmod（）精确吗？

使用

double fmod（double x，double y）

并且

y

是一个整数时，结果似乎总是精确的

（也就是说

y

是一个精确的整数，这里不表示

int

）

也许C不需要

fmod（）

在这些选择的情况下提供准确的答案，但在我尝试过的编译器上，结果是准确的，即使

x/y

的商不能精确表示

当

y

为整数时，是否需要精确答案

如果没有，请提供一个反例

示例：

double x = 1e10;
// x = 10000000000
printf("%.50g\n", fmod(x, 100));
// prints 0

x = 1e60;
// x = 999999999999999949387135297074018866963645011013410073083904
printf("%.50g\n", fmod(x, 100));
// prints 4

x = DBL_MAX;
// x = 179769313486231570...6184124858368
printf("%.50g\n", fmod(x, 100));
// prints 68

x = 123400000000.0 / 9999;
// x = 12341234.1234123408794403076171875
printf("%.50g %a\n", fmod(x, 100), fmod(x, 100));
// prints 34.1234123408794403076171875 0x1.10fcbf9cp+5

注：
我的

double

显示为符合IEEE 754 binary64的版本。
这里不讨论

printf（）

的限制，只讨论

fmod（）

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注：通过“是否需要精确答案”，我是问

fmod（）

结果和数学结果是否完全相同

fmod的结果总是准确的；

y

是否为整数无关紧要。当然，如果

x

和/或

y

已经是一些实数

a

和

b

的近似值，那么

fmod（x，y）

不太可能完全等于

a mod b
IEEE标准754将余数运算
x REM y
定义为数学运算
x-（圆形）（x/y）*y）
。根据定义，即使中间操作
x/y
、
round（x/y）
等具有不精确的表示，结果也是精确的

正如aka.nice所指出的，上面的定义与
libm
fmod
中的库函数
余数
相匹配，以不同的方式定义，要求结果具有与
x
相同的符号。然而，因为
fmod
和
余数
之间的差异是
0
或
y
，我相信这仍然可以解释为什么结果是精确的。
这里“精确”是什么意思？就像“匹配数学结果”？你是对的。抱歉，比特sleepy@OliCharlesworth是，“匹配数学结果”+1引用。我想快速直观地解释为什么
x-（轮（x/y）*y）
在原始精度范围内总是有一个精确的结果，但它太复杂了，所以我把它从我的答案中漏掉了。我认为没有一个简单的解释。天真地计算
x轮（x/y）*对于我尝试过的一些极端情况（
x=pow（2，53）*100
和
y=100
），y
与
fmod（x，y）
不同。实现必须执行迭代减法之类的技巧，以保持结果在数学上的精确性。我所知道的最佳解释是从减去
r^n*y
开始，其中
r
是基数，
n
是产生结果的指数，其指数与
x
的指数相同；这减少了n精度的位数至少为1，并产生一个与
x
mod
y
一致的值。我怀疑您是通过归纳的方式应用此参数得出结论的，但细节（尤其是当符号翻转时）是一种痛苦。@R..下面的解释如何：让
R
成为数学结果。
x
和
y
都是大于
R
的浮点数，因此是
ulp（R）
的倍数。因此
R
是
ulp（R）的倍数
，因此
r
可以精确地表示为浮点数。@PascalCuoq:并不是所有的
ulp（r）
的精确倍数都可以表示。例如，
LLONG_MAX*ulp（r）
肯定不是。