Coq 使用ssreflect进行子类型化

我一直试图学习如何使用ssreflect作为我的主要参考来进行子类型划分，但一直遇到问题。我要做的是从一个包含三个术语的类型

T

，创建一个包含两个术语

a，b

的子类型

T'

。 （1）

{x:T | px}

和

亚型P

之间有什么区别？ （2） 从我下面的代码中，我有

Sub a Pa

作为

T'

的一个术语，是否可以有一个适用于

a，b

的通用证明？我在这里感到困惑，因为

eqType.v

感觉好像

insub

是用来从一个类型投射到它的子类型的

From mathcomp Require Import ssreflect ssrfun ssrbool eqtype.

Inductive T : Set := a | b | c.

Definition P := fun (x:T) =>
 match x with
 | a => true
 | b => true
 | c => false
 end.

 Definition T' := {x:T | P x}.
 Definition T'' := subType P.

 Definition cast (x: T) : option T'.
 destruct (P x) eqn:prf.
 - exact (Some (exist _ x prf)).
 - exact None.
 Defined.


 Definition Pa : is_true (P a).
   destruct (P a) eqn:prf.
   exact. simpl in prf. unfold is_true. symmetry. apply prf. Defined.

 Check (Sub a Pa) : T'.

 Check val (Sub a Pa) : T.

 Check insub (val (Sub a Pa)) : option T'.

 Definition Px :forall x : T, is_true (P x).
  intros x. destruct (P x) eqn:prf.
  - unfold is_true. reflexivity.
  - unfold is_true.
  Abort. 

（1） {x:T | px}和p亚型之间有什么区别

subType p

是包含

p

建立某些类型的子类型的所有相关证明的记录

val:U->T

{x:T | px}

是一个常规的sigma类型，如果

p

是一个布尔谓词，那么math comp已经声明了一种为该类型构建

子类型p

记录的规范方法

（2） 根据我下面的代码，我将Pa分为T'一词，是否可以 有适用于a和b的一般证明吗？我在这里也很困惑 从eqType.v中，感觉insub就是用来 从类型投影到其子类型

From mathcomp Require Import ssreflect ssrfun ssrbool eqtype.

Inductive T : Set := a | b | c.

Definition P := fun (x:T) =>
 match x with
 | a => true
 | b => true
 | c => false
 end.

 Definition T' := {x:T | P x}.
 Definition T'' := subType P.

 Definition cast (x: T) : option T'.
 destruct (P x) eqn:prf.
 - exact (Some (exist _ x prf)).
 - exact None.
 Defined.


 Definition Pa : is_true (P a).
   destruct (P a) eqn:prf.
   exact. simpl in prf. unfold is_true. symmetry. apply prf. Defined.

 Check (Sub a Pa) : T'.

 Check val (Sub a Pa) : T.

 Check insub (val (Sub a Pa)) : option T'.

 Definition Px :forall x : T, is_true (P x).
  intros x. destruct (P x) eqn:prf.
  - unfold is_true. reflexivity.
  - unfold is_true.
  Abort. 

我不确定你的意思<代码>insub不“投影”，但尝试嵌入[这并非总是可能的]。在您的情况下，证明非常简单，您不必将事情复杂化：

From mathcomp Require Import all_ssreflect.

Set Implicit Arguments.
Unset Strict Implicit.
Unset Printing Implicit Defensive.

Inductive T : Set := a | b | c.

Definition is_ab (x:T) : bool := match x with
 | a | b => true
 | c => false
 end.

Definition abT := { x : T | is_ab x }.

Lemma abT_is_ab (x : abT) : is_ab (val x).
Proof. exact: valP. Qed.

（1） {x:T | px}和p亚型之间有什么区别

subType p

是包含

p

建立某些类型的子类型的所有相关证明的记录

val:U->T

{x:T | px}

是一个常规的sigma类型，如果

p

是一个布尔谓词，那么math comp已经声明了一种为该类型构建

子类型p

记录的规范方法

（2） 根据我下面的代码，我将Pa分为T'一词，是否可以 有适用于a和b的一般证明吗？我在这里也很困惑 从eqType.v中，感觉insub就是用来 从类型投影到其子类型

From mathcomp Require Import ssreflect ssrfun ssrbool eqtype.

Inductive T : Set := a | b | c.

Definition P := fun (x:T) =>
 match x with
 | a => true
 | b => true
 | c => false
 end.

 Definition T' := {x:T | P x}.
 Definition T'' := subType P.

 Definition cast (x: T) : option T'.
 destruct (P x) eqn:prf.
 - exact (Some (exist _ x prf)).
 - exact None.
 Defined.


 Definition Pa : is_true (P a).
   destruct (P a) eqn:prf.
   exact. simpl in prf. unfold is_true. symmetry. apply prf. Defined.

 Check (Sub a Pa) : T'.

 Check val (Sub a Pa) : T.

 Check insub (val (Sub a Pa)) : option T'.

 Definition Px :forall x : T, is_true (P x).
  intros x. destruct (P x) eqn:prf.
  - unfold is_true. reflexivity.
  - unfold is_true.
  Abort. 

我不确定你的意思<代码>insub不“投影”，但尝试嵌入[这并非总是可能的]。在您的情况下，证明非常简单，您不必将事情复杂化：

From mathcomp Require Import all_ssreflect.

Set Implicit Arguments.
Unset Strict Implicit.
Unset Printing Implicit Defensive.

Inductive T : Set := a | b | c.

Definition is_ab (x:T) : bool := match x with
 | a | b => true
 | c => false
 end.

Definition abT := { x : T | is_ab x }.

Lemma abT_is_ab (x : abT) : is_ab (val x).
Proof. exact: valP. Qed.

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我对

insub

的理解是针对

x:T

，

insub x:abT

，因为它是

T

到

T

的子类型

S

的一般部分投影，同样对于

x:abT

，我们将有

val x:T

。您还可以进一步解释引理

abT_is_ab

及其用法吗？引理

abT_is_ab

只是

valP

的别名，也就是说，子类型的每个元素都满足

P

谓词。证明是琐碎的，相当于破坏记录，如果我们能更好地支持math comp

valP

中的原始投影，它将在定义上保持不变

insub x

只检查子类型中是否有元素

x

。它相当于检查

px

的结果。注意

insub x:option abT

，因为任何元素

x:T

都不满足

ab

谓词。我对

insub

的理解是针对

x:T

，

insub x:abT

，因为它是

T

的子类型

S

的一般部分投影，同样，对于

x:abT

，我们将有

valx:T

。您还可以进一步解释引理

abT_is_ab

及其用法吗？引理

abT_is_ab

只是

valP

的别名，也就是说，子类型的每个元素都满足

P

谓词。证明是琐碎的，相当于破坏记录，如果我们能更好地支持math comp

valP

中的原始投影，它将在定义上保持不变

insub x

只检查子类型中是否有元素

x

。它相当于检查

px

的结果。注意

insub x:option abT

，因为任何元素

x:T

都不满足

ab

谓词。