在Coq中提供示例，其中（A B:道具），P:道具->；类型，使A<-&燃气轮机；B、 但是不能用P B代替P A

如标题所示，我希望举一个例子，其中：

Section Question:
Definition A: Prop := <whatever you like>.
Definition B:Prop := <whatever you like>.
Definition/Inductive/Fixpoint P: Prop -> Type := <whatever you like>.

Theorem AEquivB: A <-> B.
Proof. <supply proof here>. Qed.

(* Question 1. can we pick a P, A, B to prove this? *)
Theorem PA_not_equals_Pb: P A <> P B.
Proof. <supply proof here>. Qed.

(* Question 1.5. can we pick a P, A, B to prove this? *)
Theorem PA_not_equiv_PB: ~(P A <-> P B)
Proof. <supply proof here>. Qed.  

部分问题：
定义A:Prop:=。
定义B:Prop:=。
定义/归纳/固定点P:Prop->Type:=。
定理B:ab。
证明。Qed。
（*问题1.我们可以选择一个P、a、B来证明这一点吗？*）
定理pau不等于papb:papbb。
证明。Qed。
（*问题1.5.我们可以选择一个P、a、B来证明这一点吗？*）
定理PA_不等于PB:~（PA P B）
证明。Qed。

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总的来说，我很想了解“证明等价性”是否“足够好”可以在某种意义上被用作“等价性”，或者是否存在这样的情况：我们可以有

pa

，和

ab

，但不是

pb

对于所有的ab:Prop，（ab）->a=B，这与Coq是一致的。（也就是说，你可以把它作为一个公理，理论不会崩溃。）这个公理被称为。由于

A=B

很快给出了

所有P:Prop->Prop，pappb

，因此没有术语

P

，

A

，

B

，以至于

（ab）/\~（pappb）

，因为这与公理相矛盾，但我们知道它是一致的。类似地，我们也很快得到

pa=pb

，这意味着我们也不能得到

papb

。注意，即使违反命题可拓性的

P

，

A

，

B

不存在，我们仍然无法证明命题可拓性。Coq根本没有能力像这样谈论自己（这很好，因为这意味着你可以自定义它），这就是为什么如果你想要的话，需要将命题扩展性添加为一个公理。

由于元理论的原因，你的问题无法在Coq中得到回答。Coq（通常称为CIC）的逻辑不够强大，无法对所有本身可以描述的证明进行推理。例如，有些陈述不能被证明，但它们的对立面也不能被证明。这就是为什么Coq'wiki包含一个可以安全添加到Coq的。不过，我并没有找到确切的答案来回答你的问题；你知道Coq在哪里证明这是正确的吗？@SiddharthBhat我想你可以从

ClassicalFacts

（其中包含一些关于这条公理的事实）开始，并寻找一些引文来找到证据。