Coq：如何添加有意义的提示？

我是Coq的新手，可能做得完全不对。在我看来，我需要在编写人类可读性很好的公理/定理和作为提示有用的公理/定理之间做出选择，因为在人类可读的形式中，它们“隐藏”了太多语法，而自动策略无法使用它们。我想知道是否有什么方法可以同时享受这两个世界

我将给出一个有点详细的例子，否则我恐怕无法表达我的意思

作为一个学习练习，我尝试做小组理论。以下是我的定义：

Variable G: Set.
Variable op: G -> G -> G.
Variable inv: G -> G.
Variable e:G.
Infix "+" := op.
Notation "- x" := (inv x).

Definition identity x := forall a:G, a + x = a /\ x + a = a.

Definition associative_law := forall a b c:G, a + (b + c) = (a + b) + c.
Definition identity_law := identity e.
Definition inverse_law := forall a:G, a + (-a ) = e /\ -a + a = e.
Definition group_laws:= associative_law /\ identity_law /\ inverse_law.
Axiom group_laws_hold: group_laws.

我试图让每件事都让人可读（至少对我来说）。所以说e是同一性的公理“隐藏”在两层抽象的背后：“群体法则”和“同一性”

我也可以直接写下这条公理（好吧，我需要它的一半）：

 Axiom identity_law_holds: forall a:G, a + e = a.

现在，让我们以我们的组公理作为提示：

Hint Resolve group_laws_hold.

现在我试着证明一个关于群体的简单陈述——身份是独一无二的：

Theorem identity_is_unique: forall x:G, identity x -> x = e.
Proof.
intros.
transitivity (op x e).
symmetry.

到目前为止，一切顺利。现在我的目标是“x+e=x”。如果我现在这样做

apply group_laws_hold.

这一目标将得到解决。然而，执行“自动”没有任何作用，这可能是因为Coq无法识别“group_laws_hold”与“x+e=x”相关，因为“group_laws_hold”与“x+e=x”的语法不同

但是，如果我添加提示

Hint Resolve identity_law_holds.    

当然，“自动”也会起作用。但如果我稍微把“身份法”改为更一般（更正确）的话

然后“自动”将再次失败

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所以我的问题是：有没有一种方法可以修复我的代码，使“auto”可以工作，但提示比我的“Axiom identity\u law\u holds:forall a:G，a+e=a”更一般？

eauto

能够进行一些规范化。

eauto

不能做的是归纳， 因为像

和_ind

这样的归纳原则的结论是如此普遍，所以 将减速到几乎停止。无论如何，

eauto

使用

intros

使用

eapply

之前，通常需要在 介绍任何东西

你必须定义自己的不太一般的预测

Lemma l1 : group_laws -> identity_law.
Proof. intros [? [? ?]]. eauto. Qed.

Lemma l2 : identity_law -> identity e.
Proof. eauto. Qed.

Lemma l3 : forall x, identity x -> forall a, a + x = a.
Proof. intros. einduction H. eauto. Qed.

Lemma l4 : forall x, identity x -> forall a, x + a = a.
Proof. intros. einduction H. eauto. Qed.

Hint Resolve eq_sym eq_trans group_laws_hold l1 l2 l3 l4.

Theorem identity_is_unique: forall x, identity x -> x = e.
Proof. info_eauto 7. Qed.

但是您可以强制

eauto

使用

和_ind

Hint Extern 1 => eapply and_ind.

Hint Extern 1 => eapply and_ind.