Coq 证明f（f bool）=bool

在coq中，我如何证明接受bool

true | false

并返回bool

true | false

（如下所示）的函数

f

，当对单个bool

true | false

应用两次时，总是会返回相同的值

true | false

：

(f:bool -> bool)

例如，函数

f

只能做4件事，让我们调用函数

b

的输入：

• 始终返回

  true

• 始终返回

  false

• 返回

  b

  （即如果b为真则返回真，反之亦然）
• 返回

  非b

  （即，如果b为真，则返回false，反之亦然）

因此，如果函数始终返回true：

f (f bool) = f true = true

如果函数总是返回false，我们将得到：

f (f bool) = f false = false

对于其他情况，函数返回

而不是b

f (f true) = f false = true
f (f false) = f true = false

在两种可能的输入情况下，我们总是以原始输入结束。如果我们假设函数返回

b

，情况也是如此

那么，你将如何在coq中证明这一点

Goal forall (f:bool -> bool) (b:bool), f (f b) = f b.

所有目标（f:bool->bool）（b:bool），f（f（fb））=fb。
证明。
介绍。
记住（f true）为ft。
记住（f false）为ff。
破坏ff；破坏ft；破坏b；
试着重写一个稍微短一点的证明：

Require Import Sumbool.

Goal forall (f : bool -> bool) (b:bool), f (f (f b)) = f b.
Proof.
  destruct b;                             (* case analysis on [b] *)
    destruct (sumbool_of_bool (f true));  (* case analysis on [f true] *)
    destruct (sumbool_of_bool (f false)); (* case analysis on [f false] *)
    congruence.                           (* equational reasoning *)
Qed.

在：

谢谢你的精彩作业！多么可爱的定理

这是对Coq使用C-zar声明性证明样式的证明。这比命令式的要长得多（尽管可能是因为我的技能太低）

定理bool_情形：对于所有a，a=true\/a=false。
证明。
让我们来看看。
每箱a。
假设它是假的。
因此，论文。
假设这是真的。
因此，论文。
结束案例。
最终证明。Qed。
所有（b:bool）的目标，f（f（fb））=fb。
证明。
b:布尔。
每箱b。
假设它是假的。
按bool_案例（f false=false\/f false=true）的每个案例。
假设（f false=false）。
因此（f（f（f假））=f假）。
假设H：（f false=true）。
按bool_案例的（f真=假\/f真=真）案例。
假设（f真=假）。
因此H的（f（f（f假））=f假）。
假设（f真=真）。
因此H的（f（f（f假））=f假）。
结束案例。
结束案例。
假设这是真的。
按bool_案例的（f真=假\/f真=真）案例。
假设H：（f真=假）。
按bool_案例（f false=false\/f false=true）的每个案例。
假设（f false=false）。
因此H的（f（f（f真））=f真）。
假设（f假=真）。
因此H的（f（f（f真））=f真）。
结束案例。
假设（f真=真）。
因此（f（f（f真））=f真）。
结束案例。
结束案例。
最终证明。Qed。
我已经意识到f（fb:bool）=b不能被证明，好像f总是返回真f（ffalse）==ftrue==true！=错误。但是，f（f（fb））=f（b）。也许这更接近你想要的问题？我不知道如何在Coq中证明这一点！顺便说一下，你要证明的属性有一个名字：幂等性。那是用什么语言写的？数学？更简洁的证明：
bymove=>f[]；病例et：（f为真）；案例ef：（f假）；重写？et？ef.
一个基于相同思想的略短的证明：
简介f[]；案例_eq（f真）；案例(f假),；一致性。
Require Import Sumbool.

Goal forall (f : bool -> bool) (b:bool), f (f (f b)) = f b.
Proof.
  destruct b;                             (* case analysis on [b] *)
    destruct (sumbool_of_bool (f true));  (* case analysis on [f true] *)
    destruct (sumbool_of_bool (f false)); (* case analysis on [f false] *)
    congruence.                           (* equational reasoning *)
Qed.

Require Import ssreflect.

Goal forall (f:bool -> bool) (b:bool), f (f (f b)) = f b.
Proof.
move=> f.
by case et:(f true); case ef:(f false); case; rewrite ?et ?ef // !et ?ef.
Qed.

Theorem bool_cases : forall a, a = true \/ a = false.
proof.
    let a:bool.
    per cases on a.
    suppose it is false.
        thus thesis.
    suppose it is true.
        thus thesis.
    end cases.
end proof. Qed.

Goal forall (b:bool), f (f (f b)) = f b.
proof.
    let b:bool.
    per cases on b.

    suppose it is false.
        per cases of (f false = false \/ f false = true) by bool_cases.
        suppose (f false = false).
            hence (f (f (f false)) = f false).
        suppose H:(f false = true).
            per cases of (f true = false \/ f true = true) by bool_cases.
            suppose (f true = false).
                hence (f (f (f false)) = f false) by H.
            suppose (f true = true).
                hence (f (f (f false)) = f false) by H.
            end cases.
        end cases.

    suppose it is true.
        per cases of (f true = false \/ f true = true) by bool_cases.
        suppose H:(f true = false).
            per cases of (f false = false \/ f false = true) by bool_cases.
            suppose (f false = false).
                hence (f (f (f true)) = f true) by H.
            suppose (f false = true).
                hence (f (f (f true)) = f true) by H.
            end cases.
        suppose (f true = true).
            hence (f (f (f true)) = f true).
        end cases.

end cases.
end proof. Qed.