C++ 三角形和四边形计算TBN矩阵的差异？

我试图从网格的细分计算法线贴图，有两个网格一个是包含四边形和三角形的UV展开基础网格，另一个是仅包含四边形的细分网格

假设我有一个四边形，其中包含对象空间和UV空间中顶点的所有坐标（四边形不是平面），四边形的面法线和一个像素及其在UV空间中的位置

我可以计算给定四元体的TBN矩阵并将颜色写入像素吗？如果可以，那么四元体的TBN矩阵是否不同

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我问这个问题是因为我找不到任何例子来计算四边形的TBN矩阵，只有三角形？

在回答你的问题之前，让我先解释一下你需要的切线和双切线是什么

让我们暂时忘记三角形、四边形或多边形。我们只有一个曲面（以任何表示形式给出）和一个纹理坐标形式的参数化，这些坐标在曲面上的每个点上定义。然后我们可以将曲面定义为：

xyz=s（uv）

uv

是一些2D纹理坐标，函数

s

将这些纹理坐标转换为3D世界位置

xyz

。现在，切线是u坐标增加的方向。即，它是3D位置相对于u坐标的导数：

T=ds（uv）/du

。类似地，双切线是相对于v坐标的导数。法线是一个垂直于两者的向量，通常指向外部。请记住，这三个向量通常在曲面上的每个点都不同

现在让我们转到离散计算机图形学，在这里我们用多边形网格近似连续曲面

s

。问题是没有办法再得到精确的切线和双切线了。我们在离散近似中丢失了很多信息。因此，我们有三种常用的方法来近似切线：

将向量与模型一起存储（通常不这样做）

估计顶点处的向量并在面中对其进行插值

分别计算每个面的向量。这将为您提供一个不连续的切线空间，当两个相邻面之间的二面角过大时，会产生瑕疵。不过，这显然是大多数人正在做的事情。这显然也是你想要做的

让我们关注第三种方法。对于三角形，这尤其简单，因为纹理坐标是跨三角形线性插值的（重心插值）。因此，导数都是常数（它只是一个线性函数）。这就是为什么可以计算每个三角形的切线/双切线

对于四边形，这并不是那么简单。首先，必须就从四边形顶点到其内部的位置和纹理坐标插值方法达成一致。通常使用双线性插值。但是，这不是线性插值，即切线和双切线不再是常数。这只会在特殊情况下发生（如果四边形是平面的，并且uv空间中的四边形是平行四边形）。通常，这些假设不成立，最终四元体上的每个点都会有不同的切线/双切线/法线

计算所需导数的一种方法是引入辅助坐标系。让我们定义一个坐标系

st

，其中四边形的第一个角具有坐标

（0,0）

，对角的角具有

（1,1）

（其他角具有

（0,1）

和

（1,0）

）。这些实际上是我们的插值坐标。因此，给定任意插值方案，计算导数

dxyz/dst

和

duv/dst

相对简单。第一个是3x2矩阵，第二个是2x2矩阵（这些矩阵称为插值的雅可比矩阵）。然后，根据这些矩阵，您可以计算：

d xyz / d uv = (d xyz / d st) * (d st / d uv) = (d xyz / d st) * (d uv / d st)^-1

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这将为您提供一个3x2矩阵，其中第一列为切线，第二列为双切线。

在回答您的问题之前，让我先解释一下实际需要的切线和双切线是什么

让我们暂时忘记三角形、四边形或多边形。我们只有一个曲面（以任何表示形式给出）和一个纹理坐标形式的参数化，这些坐标在曲面上的每个点上定义。然后我们可以将曲面定义为：

xyz=s（uv）

uv

是一些2D纹理坐标，函数

s

将这些纹理坐标转换为3D世界位置

xyz

。现在，切线是u坐标增加的方向。即，它是3D位置相对于u坐标的导数：

T=ds（uv）/du

。类似地，双切线是相对于v坐标的导数。法线是一个垂直于两者的向量，通常指向外部。请记住，这三个向量通常在曲面上的每个点都不同

现在让我们转到离散计算机图形学，在这里我们用多边形网格近似连续曲面

s

。问题是没有办法再得到精确的切线和双切线了。我们在离散近似中丢失了很多信息。因此，我们有三种常用的方法来近似切线：

将向量与模型一起存储（通常不这样做）

估计顶点处的向量并在面中对其进行插值

分别计算每个面的向量。这将为您提供一个不连续的切线空间，当两个相邻面之间的二面角过大时，会产生瑕疵。然而，这显然是什么