C++ 素性检验的最快算法

我需要测试真正大的数之间的间隔的素性（在长-长的范围内），所以我需要一些快速算法来检查一个数是否为素数。请提出你的想法。

我想出了一个非常好的算法，比检查所有除数要快得多——当然，这也让我破解了公钥加密

等等，我只需要关上窗户，头顶上有所有这些黑色的直升机

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（或看看）

一个好方法是测试。然而，应该注意的是，这只是一个概率测试。

最快的可能是在预计算的素数列表中查找它。看，他们有多达2^43112609-1（已知的最大素数）。

我认为渐近最快的电流（非概率）素数测试是“Lenstra/Pomerance改进AKS”，其复杂性本质上是O（n^6）

但是，

long

（假设一个典型的系统是64位整数）的范围实际上并没有那么大。特别是，只有约2亿个素数小于2^32，因此在该范围内，使用快速概率测试，然后使用预计算的素数列表进行试除法（或者仅在素数列表中查找数字，如果有）将非常快，这可能是正确的方法。

我建议使用该算法的。我已经用了几个月了，速度非常快

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具体来说，函数mpz_probab_prime_p可以实现这一点，您还可以使用另一个函数mpz_nexttime来查找下一个大于一个数的素数。如果您愿意，我可以发布代码示例。

Cobbal和grokus是对的。Miller-Rabin测试是可用算法中最有用的。是的，这是可能的，但真的不应该吓跑你。该测试是最广泛用于实际目的的测试

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请注意，通过重复测试，误报概率（没有误报）可以任意降低。

请看我的答案：

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考试很快。如果您在64位或更小的范围内工作，您可以使用30030的GCD来为大多数数字节省一点时间。

如果您想测试长-长的素性，则是一个不错的选择。这个测试做一个强伪素数测试和一个Lucas测试，因此速度非常快。预计有一些复合材料通过了这项测试，但到目前为止还不知道，当然1015以下也没有例外。例如，在Mathematica中使用了这种测试的一种变体。

我认为最好的算法是“阿里素性测试”。

吉姆·辛克莱证明，对七个基数2、325、9375、28178、450775、9780504、1795265022进行米勒·拉宾测试，可以确定一个小于2^64的数是否为素数。请参阅。

您只需要检查它是素数，还是需要找到它的素数因子？素数因子分解很困难。这就是RSA加密的基础。虽然你没有回答Stephen的问题，所以我假设你只是想测试一个数的素数。你是否需要确定它是否是素数，或者你是否满足于有很高的正确答案概率？这个问题似乎离题了，因为它是关于数论的。试试math.stackexchange.com。分解复合数（破解RSA需要）不同于仅仅测试一个数是否为素数（不一定需要找到任何特定的因子）。事实上，实现RSA需要找到具有数百位数字的素数，这在简单的“检查所有潜在因子”算法中是不可行的。是的，但如果有一种更快的测试素数的方法，你就不会在这里告诉任何人；-）问题是无论如何都要以傻瓜的身份结束。这是行不通的。没有一台计算机有足够的存储空间来保存这么长的列表。根据对

pi（2^64）

@Dietrich的粗略估计，这个列表需要超过十亿GB的存储空间，而不需要压缩。但是OP不需要那么多。在概率测试之后，你不需要进行除法。如果运行probabilist test n迭代，则错误答案的概率为1/2^n，因此如果n=100，则算法将在10^30次中出错1次。与进行试验划分相比，最好只运行更多的概率测试迭代。特别是，在实际硬件上，由于异常高能的宇宙射线翻转寄存器值，概率测试的失败概率不比确定性测试的失败概率差（或其他零星硬件故障）Miller Rabin可以在广义Riemann假设的假设下调整为确定性。由于GRH被广泛认为是正确的，我可以设想一个场景，您在使用此测试时，好像它被证明是确定性的，因为它是迄今为止最快的。@Mark:对于指定的输入范围，我们不需要假设GRH是正确的，我们只需要一个较弱的假设，即M-R的确定性版本在LONGLONG_MAX以下没有误报。这可能更容易证明，尽管我仍然不想尝试通过详尽的测试来证明。