Algorithm 如果边数已知，则创建最小生成树的时间复杂度

假设连通图的边数已知，且每条边的权重不同，那么是否有可能在线性时间内创建最小生成树

要做到这一点，我们必须审视每一个边缘；在这个循环中，不能包含任何搜索，否则它将导致至少n个logn次。我不知道如何在不搜索循环的情况下执行此操作。这意味着，不知何故，我们必须只看一次每一条边，并根据一些不涉及不断增长的数据结构的“静态”先前值来决定是否包含它

所以。。假设我们保留该节点的端点，然后查看下一个节点，如果下一个节点的顶点与prev相同，则比较prev和当前节点的权重，并保留较低的一个。如果当前节点的端点不等于prev，则它位于不同的组件中。。现在我被卡住了，因为我们无法创建哈希或数组来跟踪已经添加的组件节点，同时在线性时间内查看每条边

我想到的另一种方法是找到重量最小的边；由于边权重不同，因此此边将是任何MST的一部分。然后。。我被卡住了。因为我们不能在线性时间内对n-1条边这样做

有什么提示吗

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编辑

如果我们知道节点的数量、边的数量以及每个边的权重是不同的，会怎么样？比如说，有n个节点，n+6条边

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那么我们只需要找到并删除正确的7条边，对吗？

据我所知，如果知道图中有多少条边并且它们是不同的，就无法更快地计算MST。在最坏的情况下，您必须查看图中的每条边，然后才能找到最小成本边（必须在MST中），在最坏的情况下，这需要Ω（m）时间。因此，我认为任何MST算法在最坏的情况下都必须花费Ω（m）时间

但是，如果我们已经在最坏的情况下进行Ω（m）工作，我们可以对任何MST算法执行以下预处理步骤：

扫描边缘，数一数有多少

向每个边权重添加ε值，以确保边是唯一的

这也可以在时间Ω（m）内完成。因此，如果有一种方法可以在知道边缘数量和边缘代价不同的情况下加速MST计算，那么我们只需在任何当前MST算法上执行此预处理步骤，以获得更快的性能。因为据我所知，没有任何MST算法出于性能原因尝试这样做，所以我怀疑没有一种（已知的）方法可以基于这些额外的知识获得更快的MST算法

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希望这有帮助

已知多条边（N）的事实不会以任何方式影响复杂性。N仍然是一个有限但无界的变量，每个图都有不同的N。如果在N上放置一个上界，比如说一百万，那么复杂度是O（一百万对数一百万）=O（1）

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每个边都有不同的权重这一事实也不会影响程序，因为它不会说明任何关于图形结构的信息。因此，关于当前情况的知识不会影响进一步的处理，因为我们无法预测下一步图的结构会是什么样子。

有一个著名的最小生成树随机线性时间算法，其复杂性在边数上是线性的。参见Karger、Klein和Tarjan的“寻找最小生成树的随机线性时间算法”

本文的关键结果是他们的“抽样引理”——如果你独立地随机选择概率为p的边的子集，并找到这个子图的最小生成树，那么在连接其两端的树路径中，只有| V |/p边比最差边更好

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正如templatetypedef所指出的，你无法超越线性时间。所有边权重都不同是简化分析的常见假设；如果有什么不同的话，它会使MST算法运行得稍微慢一点

如果边的数量接近n，如本例中的

n-6

（编辑后），我们知道我们只需要删除7条边，因为每个生成树只有

n-1

边。 结果表明，循环中最昂贵的边不属于任何最小生成树（假设所有边都是不同的），因此应该删除

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现在，您可以简单地应用BFS或DFS来识别一个周期并删除最昂贵的边缘。所以，总的来说，我们需要运行BFS 7次。这需要

7*n

时间，并使我们的时间复杂度为

O（n）

。同样，只有当边的数量接近节点的数量时，这才是正确的。

您的分析是正确的，但我们也有一个匹配的线性理论上限。我对你的评论感到有点困惑，你说“并没有任何MST算法会因为性能的原因而尝试这样做”，但是---你真的知道一个应用程序，在这个应用程序中，MST是计算出来的，并且人们非常关心MST代码的性能工程吗？