Algorithm 从一个点查找圆中的切点

圆心：Cx，Cy

圆半径：a

我们需要画一条切线的点：Px，Py

我需要一个公式来找到上面给出的两条切线（t1x，t1y）和（t2x，t2y）

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编辑：有没有更简单的解决方案，使用向量代数或其他方法，而不是先求两条直线的方程，然后再解两条直线的方程，分别求出两条切线？同样，这个问题也不是离题的，因为我需要编写一个代码，以找到最佳的

嗯，这不是一个真正的算法问题（人们往往会误解算法和方程），如果你想编写一个代码，那么就这样做（你没有指定语言，也没有指定什么阻止你这样做，这是投票结果接近的原因）。。。如果没有这些信息，你的OP只是要求数学方程式，这确实是离题的，回答这个问题，我也会冒（右满）否决票的风险（但这个问题在这里被问了很多次，信息要少得多，4票重新开放，1票关闭，我的决定权在重新开放和回答这个问题上）

您可以利用这样一个事实，即您处于2D中，正如在2D中，垂直于向量的向量

a（x，y）

的计算如下：

c = (-y, x)
d = ( y,-x)
c = -d

因此，交换

x，y

并取反（哪一个确定垂直向量是CW还是CCW）。这实际上是一个旋转公式，但当我们旋转90度时，

cos，sin

就是

+1

和

-1

现在，圆上任何圆周点的法线位于穿过该点和圆中心的直线上。所以把所有这些放在一起，你的切线是：

//正常
nx=Px-Cx
ny=Py-Cy
//切线1
tx=-ny
ty=+nx
//切线2
tx=+ny
ty=-nx

如果你想要单位向量，而不是仅仅除以半径

a

（不知道为什么你不把它称为

r

，就像其他数学世界一样），那么：

//正常
nx=（Px-Cx）/a
ny=（Py-Cy）/a
//切线1
tx=-ny
ty=+nx
//切线2
tx=+ny
ty=-nx

将圆移动到原点，旋转使点位于

X

上，并按

R

缩小比例以获得单位圆

现在，当原点

（0，0）

、给定的（减少的）点

（d，0）

和单位圆

（cos t，sin t）

上的任意点形成直角三角形时，即可实现相切

cos t (cos t - d) + sin t sin t = 1 - d cos t = 0

从这个，你画

cos t = 1 / d

及

要获取初始几何体中的切点，请选择“高比例”、“不旋转”和“不平移”。（这些是简单的线性代数运算。）请注意，不需要显式执行直接变换。您只需要

d

，距离中心点与半径的比率

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这里有另一种使用复数的方法。 如果a是圆上切点从中心c开始的方向（长度1的复数），d是沿着切线到达p的（实际）长度，那么（因为切线的方向是I*a）

重新安排

(r+I*d)*a = p-c

但是a的长度是1，所以取我们得到的长度

|r+I*d| = |p-c|

除了d，我们什么都知道，所以我们可以解d：

d = +- sqrt( |p-c|*|p-c| - r*r)

然后找到a和圆上的点，每个点对应上面d的每个值：

a = (p-c)/(r+I*d)
q = c + r*a

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这里有一种使用三角学的方法。如果您了解trig，这种方法很容易理解，尽管由于trig函数的不精确性，在可能的情况下，它可能无法给出准确的答案

给出了点

C=（Cx，Cy）

和

p=（Px，Py）

，以及半径

a

。半径在我的图表中显示了两次，分别为

a1

和

a2

。您可以轻松计算点

P

和

C

之间的距离

b

，您可以看到线段

b

形成两个直角三角形的斜边，边

a

。角度

theta

（在我的图表中也显示了两次）在斜边和相邻边

a

之间，因此可以用反余弦计算。从点

C

到点

P

的矢量方向角也很容易通过反正切找到。切点的方向角是原始方向角与计算出的三角形角的和与差。最后，我们可以使用这些方向角和距离

a

来找到这些切点的坐标

下面是Python 3中的代码

# Example values
(Px, Py) = (5, 2)
(Cx, Cy) = (1, 1)
a = 2

from math import sqrt, acos, atan2, sin, cos

b = sqrt((Px - Cx)**2 + (Py - Cy)**2)  # hypot() also works here
th = acos(a / b)  # angle theta
d = atan2(Py - Cy, Px - Cx)  # direction angle of point P from C
d1 = d + th  # direction angle of point T1 from C
d2 = d - th  # direction angle of point T2 from C

T1x = Cx + a * cos(d1)
T1y = Cy + a * sin(d1)
T2x = Cx + a * cos(d2)
T2y = Cy + a * sin(d2)

有一些明显的方法可以将这些计算结合起来，使它们更加优化，但我将把这留给你们。也可以使用三角函数的角度加减公式和其他一些恒等式，从计算中完全删除三角函数。然而，结果更为复杂和难以理解。没有测试，我不知道哪种方法更“优化”，但这取决于您的目的。如果您需要其他方法，请告诉我，但这里的其他答案会为您提供其他方法

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请注意，如果

a>b

，则

acos（a/b）

将抛出异常，但这意味着点

p

位于圆内，没有切点。如果

a==b

则点

P

位于圆上，并且只有一个切点，即点

P

本身。我的代码用于案例

a

。我将让您对其他情况进行编码，并确定所需的精度，以确定

a

和

b

是否相等。

让我们来完成推导过程：

正如你所看到的，如果正方形的内部小于0，那是因为该点位于圆周的内部。当点位于圆周外时，根据正方形的符号，有两种解决方案。 剩下的很简单。拿着

atan（解决方案）

仔细看这里的标志，你可能会更好

a = (p-c)/(r+I*d)
q = c + r*a

# Example values
(Px, Py) = (5, 2)
(Cx, Cy) = (1, 1)
a = 2

from math import sqrt, acos, atan2, sin, cos

b = sqrt((Px - Cx)**2 + (Py - Cy)**2)  # hypot() also works here
th = acos(a / b)  # angle theta
d = atan2(Py - Cy, Px - Cx)  # direction angle of point P from C
d1 = d + th  # direction angle of point T1 from C
d2 = d - th  # direction angle of point T2 from C

T1x = Cx + a * cos(d1)
T1y = Cy + a * sin(d1)
T2x = Cx + a * cos(d2)
T2y = Cy + a * sin(d2)

static void FindTangents(Vector2 point, Vector2 circle, float r, out Line l1, out Line l2)
{
    var p = new Complex(point.x, point.y);
    var c = new Complex(circle.x, circle.y);
    var cp = p - c;
    var d = Math.Sqrt(cp.Real * cp.Real + cp.Imaginary * cp.Imaginary - r * r);
    var q = GetQ(r, cp, d, c);
    var q2 = GetQ(r, cp, -d, c);

    l1 = new Line(point, new Vector2((float) q.Real, (float) q.Imaginary));
    l2 = new Line(point, new Vector2((float) q2.Real, (float) q2.Imaginary));
}

static Complex GetQ(float r, Complex cp, double d, Complex c)
{
    return c + r * (cp / (r + Complex.ImaginaryOne * d));
}