Algorithm 在列表中查找重复项的最少检查

给定一个序列（d1，d2，…，dn），我想计算所有I！=j其中，如果di=dj，则Dij=1，否则为0

我的代码只有在我

prod = 1;
for (int i=1; i<n; ++i) {
    for (int j=i; j<=n; ++j) {
        prod *= (1 - Dij);
    }
}

但我能做的还有很多。这个表达式实际上总是等于

1 - D12 - D13 - D23 + 3 * D12*D13 - D12*D13*D23

我的问题是：

为什么D12*D13=D12*D23？这总是正确的（这意味着d序列是什么并不重要），但我真的不明白为什么，因为在我看来，这意味着D13=D23并不总是正确的（这取决于d序列）。这是有助于使表达式变小的关系

我怎样才能找到所有这样的关系并得到一个最小表达式？上面的表达式是最小值吗？我甚至不知道

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我可以为你回答1。考虑这两种情况：

案例1:

D13=D23

在这里，您可以将两边的

D12

相乘，得到

D12*D13=D12*D23

案例2:

D13！=D23

这意味着要么

d1=d3

XOR

d2=d3

，要么而不是两者都。因此我们知道，

d1！=d2

。这意味着

D12=0

。所以

D12 * D13 = 0 * D13 = 0 = 0 * D23 = D12 * D23

当您认为这意味着

D13=D23

时，逻辑的问题在于不能除以

0

，而

D12

可能是

0

（第二种情况下通常会发生这种情况）

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你的第二个问题很有趣，我一时想不出答案，但这里有一些可能有用的观察结果

将数字

1,2，…，n

绘制成一行：

1  2  3 ... n

给定一个表达式

D_1;（i1，j1）*D_1;（i2，j2）*……*D_1;（ik，jk）

，从

i1到j1

和

i2到j2

形成一条弧，依此类推。这会将该行转换为图形（顶点是数字，边是这些圆弧）

该图的每个连通分量表示数字

1，2，…，n

的子集，作为一个整体，这给我们提供了

{1，2，…，n}

的一个集合

事实：具有相同对应集合分区的任何两个项都是相等的

例如：

D12 * D23 = D12 * D13

               ---------
              |         |
1 -- 2 -- 3 = 1 -- 2    3

有时，这一事实意味着程度与上述情况相同，有时程度会降低，如中所示

D12 * D13 * D23

 ---------
|         |
1 -- 2 -- 3

结果是，现在可以将乘积（1-Dij）表示为集合分区上的和：

\prod_{i<j} ( 1 - Dij ) = \sum_{P set partition of \{1,2,...,n\}} c_P * m_P

当

p=P1接头P2接头。。。联合Pk

和如果

Pi={a

m_Pi = Dab * Dac * ... * Daz

最后，系数项是

c_P = \prod (#P1)! (#P2)! ... (#Pn)!

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解决了这个问题后，我现在确定它属于on而不是这里。

我没有遵循数学原理，但是如果知道di的大小是有界的，这不是你会使用哈希表甚至稀疏位数组编码的东西吗？只需迭代列表，在与di值对应的位置用“1”填充数据结构-如果它已经是1，则返回0。如果完成（n步），则返回1。它应该是O（n）。

您正在尝试确定D是否包含任何重复项。最终，这要求您将每个条目相互比较，这只是列举两个元素的所有唯一组合。结果是

N*（N-1）/2

。您可以先对D进行排序，然后搜索重复的相邻对（

O（N*log（N）

），或者，假设您坚持整数的有界范围，您可以使用位向量将其减少为线性时间，或者如果您喜欢冒险，则使用基数排序。

这可能更适合DXY，就像真值表一样。对于D12*D13==1，您需要d1==d2和d1==d3，在这种情况下，d2==d3（即D23=1）为什么你要根据Dij-s来计算乘积，为什么不用di-s来计算呢？因为我想要一个通用表达式，以后可以用于很多不同的序列，我想

1-D12-D13-D23+2 D12*D13

是对你的观点的回答。你能告诉我如何使用包含排除来找到最小表达式吗？我真的不知道那是什么。

m_Pi = Dab * Dac * ... * Daz

c_P = \prod (#P1)! (#P2)! ... (#Pn)!