C++ 牛顿&x2013；当一个函数几乎为“0”时，拉斐逊方法是不可能的；“平坦”；

我正在尝试计算x^x的值。
我已经计算了它的导数，我是
使用牛顿-拉斐逊法求给定a的f（x）=x^x-a的根。

这是我用来计算下一个近似值的函数：

double xkp1(double xk, double a){
    double lnxp1 = log(xk) +1;
    return xk -( (fx(xk, a))  /  (exp(xk*log(xk)) * (log(xk) + 1)  ));
}

其中，函数fx的定义如下：

double fx(double x, double a){
    return exp(x*log(x))-a;
}

现在，只有当xk的起始值已经接近根时，这种方法才能正常工作。
如果它相差+-0.5，xk就爆炸到一个非常高的值，f（x）变成无穷大。
现在我想这里可能有什么问题-x^x的导数与x^x的实际值相比非常小，所以整个

（fx（xk，a））/（exp（xk*log（xk））*（log（xk）+1））

变成+无穷大-切线超出了根。

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这意味着我需要更高的双精度，但有可能吗？如果没有，可以修改方法中的某些内容以使其适用于这种情况吗？

我假设您只对正

x

值感兴趣，而不是负整数（也有实数）

我有两个解决方案可以帮助你解决你的问题。首先，如果首先使用对数变换，数值格式可能更稳定。然后，您的等式将是找到

a

，这样

x log（x）=log（a）

。

x log（x）

的导数是

log（x）+1

，它可能比指数函数更稳定

否则，您可以使用您所知道的

f（x）=x^x

在

x>1/e

上单调递增来运行对分搜索。从

x_l=1/e

和

x_r=2/e

开始。如果

f（x_l）>a

，则没有解决方案。然后，当

f（x_r）

时，设置

x_l=x_r

和

x_r=c*x_r

（或增加

x_r

的任何其他方案）。一旦你有了一对紧跟在

f（x\u l）

之后的

x\u l，x\u r

，你就可以开始对分搜索，找到一个包含

f（x）=a的解的小区间。一旦这个间隔足够小，你就可以从牛顿方法的迭代开始了

您甚至可以将上述两种方法结合起来，执行对分搜索，以求解
x log（x）=log（a）
您对
a
的测试值是多少？另外，您可以取两边的对数，然后解出
x*log（x）=log（a）
——远不太可能过冲，最终得到天文值。