C++ 精确数性能

我用CGAL进行几何计算。我的计算需要精确的算术运算（即加法、减法、乘法、除法）。因此，到目前为止，我的最佳解决方案是以下数字类型：

#include <CGAL/Exact_predicates_exact_constructions_kernel.h>
typedef CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel Kernel;
typedef CGAL::Lazy_exact_nt<CGAL::Quotient<CGAL::MP_Float> > NT;

现在我有点担心与“标准”浮点算法相比，精确算法的性能开销。与double相比，CGAL的精确数字类型的性能差多少？是否存在一个上限，说明性能开销最大可能有多大

编辑我应该多描述一下我需要实现的目标。我想在3D空间中实现三角形/三角形分割。如果两个三角形相交，我想在它们的交线上分开它们。 当我有非常小的三角形或者两个三角形的交集非常小时，就会出现问题。这会导致舍入错误和我的程序崩溃。我曾尝试使用公差值进行管理，但这只在99%的时间内有效。我想写一个100%工作时间的软件，所以我真的需要精确的计算。 实际上我只需要两件事：

• 三维矢量的精确表示
• 精确谓词（关于，==操作）
• 计算两个三角形相交线的精确算法

关于交叉线计算，我有如下计算：

public Vector3m ComputeLineIntersection(IntersectionLine& otherLine)
    {
        //x = x1 + a1*t = x2 + b1*s
        //y = y1 + a2*t = y2 + b2*s
        //z = z1 + a3*t = z2 + b3*s

        Vector3m linePoint = otherLine._point;
        Vector3m lineDirection = otherLine._direction;

        NT t;
        if ((_direction.Y * lineDirection.X - _direction.X * lineDirection.Y) != 0)
        {
            t = (-_point.Y * lineDirection.X + linePoint.Y * lineDirection.X + lineDirection.Y * _point.X - lineDirection.Y * linePoint.X) / (_direction.Y * lineDirection.X - _direction.X * lineDirection.Y);
        }
        else if ((-_direction.X * lineDirection.Z + _direction.Z * lineDirection.X) != 0)
        {
            t = -(-lineDirection.Z * _point.X + lineDirection.Z * linePoint.X + lineDirection.X * _point.Z - lineDirection.X * linePoint.Z) / (-_direction.X * lineDirection.Z + _direction.Z * lineDirection.X);
        }
        else if ((-_direction.Z*lineDirection.Y + _direction.Y*lineDirection.Z) != 0)
        {
            t = (_point.Z*lineDirection.Y - linePoint.Z*lineDirection.Y - lineDirection.Z*_point.Y +
                 lineDirection.Z*linePoint.Y)/(-_direction.Z*lineDirection.Y + _direction.Y*lineDirection.Z);
        }
        else
        {
            throw new Exception("Intersection line not correctly calculated.");
        }

        NT x = _point.X + _direction.X * t;
        NT y = _point.Y + _direction.Y* t;
        NT z = _point.Z + _direction.Z * t;

        return new Vector3m(x, y, z);
    }

---

为什么不

typedef内核：：FT-NT？开销将相当大。没有上限，
double
的大小是恒定的，而经过多次运算后的有理数大小可以任意增长。在实践中，我们期望区间运算对于大多数运算来说是足够的，并且开销是一个常数。对不起，我不是数学家。我已经研究过CGAL的字段数类型和区间算法，但我仍然不确定现在应该使用什么。你的意思是我应该使用
typedef内核：：FT-NT。当我使用这种类型时，计算准确吗？开销是恒定的吗？我所说的
Kernel:：FT
的意思是，编写为
NT
编写的复杂类型没有意义，内核已经执行了一个合适的typedef（可能与您的类型相同，具体取决于GMP的可用性）。是的，计算是精确的。在级联构造时，没有任何数字类型可以保证在恒定时间内精确计算。然而，如果你所有的三角形都来自双坐标，并且你只与它们相交，那么在某种意义上，构造的“深度”是低的，开销是恒定的。我明白了。我已经使用rational数据类型实现了我的三角剖分算法，并且没有CGAL。计算是稳健的，但本质上是缓慢的。所以我希望CGAL能加快我的计算速度。因此，归根结底，CGAL并没有带来性能改进，对吗？实际上是这样的。惰性类型使用区间算法，只要这是足够的，并且只在少数情况下进行缓慢的精确有理计算。你为什么不试试看性能是否适合你呢？为什么不
typedef内核：：FT-NT？开销将相当大。没有上限，
double
的大小是恒定的，而经过多次运算后的有理数大小可以任意增长。在实践中，我们期望区间运算对于大多数运算来说是足够的，并且开销是一个常数。对不起，我不是数学家。我已经研究过CGAL的字段数类型和区间算法，但我仍然不确定现在应该使用什么。你的意思是我应该使用
typedef内核：：FT-NT。当我使用这种类型时，计算准确吗？开销是恒定的吗？我所说的
Kernel:：FT
的意思是，编写为
NT
编写的复杂类型没有意义，内核已经执行了一个合适的typedef（可能与您的类型相同，具体取决于GMP的可用性）。是的，计算是精确的。在级联构造时，没有任何数字类型可以保证在恒定时间内精确计算。然而，如果你所有的三角形都来自双坐标，并且你只与它们相交，那么在某种意义上，构造的“深度”是低的，开销是恒定的。我明白了。我已经使用rational数据类型实现了我的三角剖分算法，并且没有CGAL。计算是稳健的，但本质上是缓慢的。所以我希望CGAL能加快我的计算速度。因此，归根结底，CGAL并没有带来性能改进，对吗？实际上是这样的。惰性类型使用区间算法，只要这是足够的，并且只在少数情况下进行缓慢的精确有理计算。你为什么不试一下，看看性能是否适合你？
public Vector3m ComputeLineIntersection(IntersectionLine& otherLine)
    {
        //x = x1 + a1*t = x2 + b1*s
        //y = y1 + a2*t = y2 + b2*s
        //z = z1 + a3*t = z2 + b3*s

        Vector3m linePoint = otherLine._point;
        Vector3m lineDirection = otherLine._direction;

        NT t;
        if ((_direction.Y * lineDirection.X - _direction.X * lineDirection.Y) != 0)
        {
            t = (-_point.Y * lineDirection.X + linePoint.Y * lineDirection.X + lineDirection.Y * _point.X - lineDirection.Y * linePoint.X) / (_direction.Y * lineDirection.X - _direction.X * lineDirection.Y);
        }
        else if ((-_direction.X * lineDirection.Z + _direction.Z * lineDirection.X) != 0)
        {
            t = -(-lineDirection.Z * _point.X + lineDirection.Z * linePoint.X + lineDirection.X * _point.Z - lineDirection.X * linePoint.Z) / (-_direction.X * lineDirection.Z + _direction.Z * lineDirection.X);
        }
        else if ((-_direction.Z*lineDirection.Y + _direction.Y*lineDirection.Z) != 0)
        {
            t = (_point.Z*lineDirection.Y - linePoint.Z*lineDirection.Y - lineDirection.Z*_point.Y +
                 lineDirection.Z*linePoint.Y)/(-_direction.Z*lineDirection.Y + _direction.Y*lineDirection.Z);
        }
        else
        {
            throw new Exception("Intersection line not correctly calculated.");
        }

        NT x = _point.X + _direction.X * t;
        NT y = _point.Y + _direction.Y* t;
        NT z = _point.Z + _direction.Z * t;

        return new Vector3m(x, y, z);
    }