C# 如何获得最接近给定点的三次贝塞尔曲线？_C#_Algorithm_Math_Bezier_Curve Fitting

C# 如何获得最接近给定点的三次贝塞尔曲线？

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C# 如何获得最接近给定点的三次贝塞尔曲线？,c#,algorithm,math,bezier,curve-fitting,C#,Algorithm,Math,Bezier,Curve Fitting,给定n点： p0，p1，p2，…，pn 如何得到点c1，c2，使三次贝塞尔曲线由 p0，c1，c2，pn 最接近给定点我试过最小二乘法。我是在读了pdf文档后写的。但是我找不到一个好的t（I）函数 using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Windows; namespace BezierFitting { class CubicBezierFittingCalcul

给定n点：

p0，p1，p2，…，pn

如何得到点c1，c2，使三次贝塞尔曲线由

p0，c1，c2，pn

最接近给定点

我试过最小二乘法。我是在读了pdf文档后写的。但是我找不到一个好的t（I）函数

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Windows;

namespace BezierFitting
{
    class CubicBezierFittingCalculator
    {
        private List<Point> data;

        public CubicBezierFittingCalculator(List<Point> data)
        {
            this.data = data;
        }

        private double t(int i)
        {
            return (double)(i - 1) / (data.Count - 1);
            // double s = 0.0, d = 0.0;
            // 
            // for (int j = 1; j < data.Count; j++)
            // {
            //     if (j < i)
            //     {
            //         s += (data[j] - data[j - 1]).Length;
            //     }
            //     d += (data[j] - data[j - 1]).Length;
            // }
            // return s / d;
        }

        public void Calc(ref Point p1, ref Point p2)
        {
            double n = data.Count;
            Vector p0 = (Vector)data.First();
            Vector p3 = (Vector)data.Last();

            double a1 = 0.0, a2 = 0.0, a12 = 0.0;
            Vector c1 = new Vector(0.0, 0.0), c2 = new Vector(0.0, 0.0);
            for (int i = 1; i <= n; i++)
            {
                double ti = t(i), qi = 1 - ti;
                double ti2 = ti * ti, qi2 = qi * qi;
                double ti3 = ti * ti2, qi3 = qi * qi2;
                double ti4 = ti * ti3, qi4 = qi * qi3;
                a1 += ti2 * qi4;
                a2 += ti4 * qi2;
                a12 += ti3 * qi3;

                Vector pi = (Vector)data[i - 1];
                Vector m = pi - qi3 * p0 - ti3 * p3;
                c1 += ti * qi2 * m;
                c2 += ti2 * qi * m;
            }
            a1 *= 9.0;
            a2 *= 9.0;
            a12 *= 9.0;
            c1 *= 3.0;
            c2 *= 3.0;

            double d = a1 * a2 - a12 * a12;
            p1 = (Point)((a2 * c1 - a12 * c2) / d);
            p2 = (Point)((a1 * c2 - a12 * c1) / d);
        }
    }
}

这些点分布在由四个点控制的三次贝塞尔曲线周围：

P0（0，256），P1（512，0），P2（0，0），P3（256，256）

假设曲线从（0，256）到（256，256），如何使其余两个控制点靠近原始点？

A（三次）贝塞尔曲线是一种定义一般形式的三次参数样条曲线p=A*t^3+B*t^2+C*t+D的方法，其中p、A、B、C和D是（二维，即向量）权重。使用Bernstein多项式，可以计算给定四个控制点P0、P1、P2和P3的权重A、B、C和D，这四个控制点是几乎所有矢量绘图程序中已知的

由于您只有四个控制点，但希望适合任意数量的任意点，因此我怀疑没有唯一的解决方案。例如，给定输入（0,0）、（1,0）、（1,1）和（0,1），对于每个“最佳”解决方案（无论是什么），可以通过沿主对角线镜像样条曲线来构造一个等效解决方案

这类问题有一种通用方法，即构造一个方程，求出所有点到一般贝塞尔曲线（即由变量a、B、C和D定义的曲线）距离的平方和，计算出第一个偏差，并将其设为零，然后解出a、B的结果系，这通常会导致一个线性方程组（对不起，我需要一些时间来做数学，我已经很久没有做过了…）。但是，正如我所说的，我认为对于你的问题，这不会产生一个独特的解决方案

如果您在输入点上定义顺序，即，您希望使用单个贝塞尔曲线拟合多边形线，我认为对于唯一的解决方案来说，自由度太多了（但是，同样，我没有时间或者可能没有技能来证明…

如果您想创建带尖点的曲线，您的问题非常困难。我可以想出一种启发式方法来创建一组初始控制点。对于第一个控制点，从到第一个锚定点的距离排序时，尝试获取可用点的前1/3。排序是必要的，否则，你可能会跳得到处都是。取三分之一的点，进行线性最小二乘拟合，这具有线性时间复杂度。这为你的曲线提供了出发的方向。对最后1/3做同样的事情，你就有了“着陆”的方向

使用这些线性解决方案创建指向远离锚定点的向量，然后尝试使这些向量变长变短，以尽量减小误差。控制点将沿着锚定点的矢量

以下是一些其他想法（我只能发布两个链接！）

根据您的问题判断，我假设您只希望优化三次贝塞尔的2个“内部”控制点上的曲线拟合。这不是一个容易解决的问题，因为贝塞尔曲线是参数化描述的。最明显的解决方案是使用最小二乘正交距离回归，但这很困难，因为您需要为希望拟合的每个点在Bezier曲线上生成脚点参数。如果这个问题需要一个特定的分析解决方案，并且您受过一些数学教育，我建议您阅读Peigl和Tiller的《NURBS手册》，熟悉近似理论和优化技术。如果不是，我会选择一种更具启发性的方法，因为这类问题不可能用简单的答案来解决。

您可能想看看

这是一个非常好的实现，尽管正如作者所写：“这种方法纯粹是启发式和经验性的。从严格数学建模的角度来看，它可能给出错误的结果。但在实践中，结果已经足够好了，并且需要绝对最小的计算量。”

<>这是C++语言，但它很容易移植到任何语言… 通过控制点计算函数传递每个“边”，然后通过贝塞尔计算函数传递一条，就得到了它。若要对多边形执行bezier平滑，请使用最后一个点和第一个点传递最后一条边

Khan的函数使用了两种版本的t[i]，其中t[i]表示近似曲线上最接近输入点p[i]的点的猜测。第一个简单地使用统一的t[i]=i/（N-1），第二个使用弦长。虽然我找不到Khan的函数，但我认为这只是计算线性距离p[I]到p[I+1]，将t[0]设置为0，t[1]设置为距离p[0]到p[1]，t[2]到t[1]+距离p[1]到p[2]，依此类推。将值除以最后一个值，使所有值都在0-1范围内

你是在给定点拟合一个三次多项式吗？引入“控制点”c1和c2可唯一确定适合四个点p0、c1、c2、pn的三次多项式。现在，“最佳方式”需要一个亲密度标准。假设数据由2D点组成，x坐标为独立值，y坐标为（功能）相关值，点p0、…、pn按（不同的）递增x坐标排列。你的曲线精确地拟合第一个点和最后一个点，所以“最近的曲线”可能会使y值或其他目标的平方和误差最小化。这是我想要拟合的三次贝塞尔曲线。不是一个三次多项式。您可以使用Bernstein基来计算新的控制点，如中所述，在

应用程序插值

部分下不要采取错误的方式，但在我看来，您缺少对此的基本理解。“贝塞尔”不是一种曲线，就像“样条曲线”不是一种曲线一样