Floating point 浮点运算中尾数的乘法

关于尾数（re），实际上如何将两个尾数相乘

假设IEEE 754单精度浮点表示

假设一个数字的尾数为

1.5

，它将被编码为

0b10000000000000000

（十进制为

4194304

）。第二个数字的尾数为

1.125

，编码为

0B00100000000000000

（十进制为

1048576

）

1.5x1.125=1.6875

1.6875

编码为

0b10110000000000000000000

（十进制为

5767168

）。但是

4194304*1048576

不等于

5767168

尾数乘法是如何工作的，以至于

4194304

（1.5）乘以

1048576

（1.125），得到

5767168

（1.6875）

也就是说，如何将编码的尾数相乘

即，硬件如何使用存储在内存中的编码尾数来获取新值

---

从中，浮点数的乘法可以实现如下。我被困在第二步

把尾数和指数分开

将尾数部分乘（或除）在一起

把指数加（或减）在一起

将两个结果合并为新值

规范化结果值（可选）

您需要产品（1.0*2-1）*（1.0*2-3）

尾数是1和1，指数是-1和-3

因此尾数的乘积是1*1=1，指数之和是（-1）+（-3）=-4

因此，根据步骤1至4，两个因素的乘积为1*2-4=0.0625

需要记住两件重要的事情：（1）二进制IEEE 754浮点中的指数始终表示2的幂，（2）归一化尾数的整数部分始终为1（因此，为什么第一位可以隐藏在数字的实际二进制表示中）

---

编辑：由于问题被改写，所以将我的一些评论纳入了这个答案中

---

您链接的指南似乎描述了行为，但没有描述实现。如果实现如此简单，我会想象浮点运算会和整数运算一样快

对于尾数，硬件可能会在某个点做一些类似于添加隐藏位的事情，以便

0b110000000000000000000000 * 0b100100000000000000000000 = 0b11011000000000000000000000000000000000000000000

删除隐藏位并舍入尾随位后，该值变为0B10110000000000000

对于指数，硬件可以从两个因子的偏置指数中减去127，执行算术运算，然后将127加回和或差以重新偏置指数

---

请记住，64位格式用于对内存中的数字进行紧凑编码，但这可能不是执行数学运算时使用的实际表示形式。处理器甚至可以执行80位精度的中间数学运算，然后在将值写回内存时将结果四舍五入到64位。请参阅。

您想要产品（1.0*2-1）*（1.0*2-3）

尾数是1和1，指数是-1和-3

因此尾数的乘积是1*1=1，指数之和是（-1）+（-3）=-4

因此，根据步骤1至4，两个因素的乘积为1*2-4=0.0625

需要记住两件重要的事情：（1）二进制IEEE 754浮点中的指数始终表示2的幂，（2）归一化尾数的整数部分始终为1（因此，为什么第一位可以隐藏在数字的实际二进制表示中）

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编辑：由于问题被改写，所以将我的一些评论纳入了这个答案中

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您链接的指南似乎描述了行为，但没有描述实现。如果实现如此简单，我会想象浮点运算会和整数运算一样快

对于尾数，硬件可能会在某个点做一些类似于添加隐藏位的事情，以便

0b110000000000000000000000 * 0b100100000000000000000000 = 0b11011000000000000000000000000000000000000000000

删除隐藏位并舍入尾随位后，该值变为0B10110000000000000

对于指数，硬件可以从两个因子的偏置指数中减去127，执行算术运算，然后将127加回和或差以重新偏置指数

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请记住，64位格式用于对内存中的数字进行紧凑编码，但这可能不是执行数学运算时使用的实际表示形式。处理器甚至可以执行80位精度的中间数学运算，然后在将值写回内存时将结果四舍五入到64位。请参阅。

我发现这回答了我的问题

为了乘以编码值，硬件不知何故忽略了跟踪零。还放置了一个前导一位

因此，对于1.5，使用了

0b11

（3）而不是

0b10000000000000000

（4194304）。
同样，对于1.125，使用

0b1001

（9）代替

0B00100000000000000

（1048576）

因此

0b11*0b1001=0b11011

（27）

如果忽略

0b11011

中的额外前导一位*并添加尾随零，则以

0b10110000000000000

结束（5767168）

*有关有效位的一些重要信息，请参见。对于本例，忽略额外的前导一位就足够了。

我发现这回答了我的问题

为了乘以编码值，硬件不知何故忽略了跟踪零。还放置了一个前导一位

因此，对于1.5，使用了

0b11

（3）而不是

0b10000000000000000

（4194304）。
同样，对于1.125，使用

0b1001

（9）代替

0B00100000000000000

（104

0x3FC0
0011111111000000
0 01111111 1000000

0x4040
0100000001000000
0 10000000 1000000

  11
* 11
======
  11 
+11
======
1001

10.01

1.001 with an increase in the exponent.

0 10000001 001000....
010000001001000....
0100 0000 1001 000....

0x40900000

   ab
*  cd
======
   ef
  gh
======
 jklm

e = a & d
f = b & d
g = a & c
h = b & c

 nop0
   ef
+ gh
======
 jklm

xy cr
00 00 
01 01
10 01
11 10

m = f
p = 0 because f+0 cant have a carry bit.
l = e xor h 
o = e & h 
k = o xor g
n = o & g
j = n

m = f = b & d
l = e xor h = (a&d) xor (b&c)
k = o xor g = (e & h) xor (a&c) = ((a&d) & (b&c)) xor (a&c)
j = n = o & g = (e & h) & (a&c) = ((a&d) & (b&c)) & (a&c)

0x3FF8000000000000 1.5
0x4008000000000000 3.0
0x4012000000000000 4.5

0011111111111000
0100000000001000
0100000000010010

0 01111111111 1000   1.1000...
0 10000000000 1000   1.1000...
0 10000000001 0010   1.0010....