Geometry 如何计算非均匀球体的质量？

我想根据三维离散的非均匀密度分布来计算球体的质量。假设一组不同密度的3x3x3立方体被一个球体内接。使用Python总结分区质量的最快方法是什么

我试图用scipy.integrate.dblquad计算一个球体的数学方程下的体积：x^2+y^2+z^2=R^2，用于其中一个立方体的范围。 然而，只有当边界小于球体的半径时，结果才有效，并且对于50000个球体（每个球体有27个立方体）的重复计算将非常缓慢

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另一方面，在我看来，由于质量分布相当粗糙和离散，通常的计算公式无法使用

我无法理解你所说的被球体内接的确切含义。而且我还没有试过scipy.integrate。然而，以下是一些：

将3x3x3立方体设置为单位密度。然后分别对每个多维数据集进行积分，因此这里应该有体积多维数据集

V_ijk

。现在对于每个球体，可以通过求和

V_ijk*D_ijk

得到每个球体的质量，其中

D_ijk

是球体的密度

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它应该快得多，因为您现在不需要进行积分。

您可以获得立方体（或矩形棱镜）和球体之间相交体积的解析公式。这并不容易，但应该是可能的。我已经做了二维任意三角形和圆的计算。基本思想是将交点分解为更简单的部分，如四面体和体积球面三角形扇形，相对简单的体积公式是已知的。主要困难在于考虑所有可能的交叉口情况。幸运的是，这两个对象都是凸面的，因此可以保证有一个凸面相交体积

一种近似方法可能是简单地细分立方体，直到近似数值积分算法开始工作；这应该还是比较快的。你知道吗？这只适用于2D，但我相信还有计时实验

您没有指定时间限制，所以我用一个很好的集成包做了一个小实验

在没有优化的情况下，如果立方体密度是简单的函数，则可以在标准笔记本电脑中以0.005秒的速度计算球坐标中的每个积分

作为参考，这是Mathematica中的程序：

Clear@f;
(* Define a cuboid as density function *)
iP = IntegerPart;
f[{x_, y_, z_}, {lx_, ly_, lz_}] :=   iP[x - lx] + iP[y - ly] + iP[z - lz] /; 
   lx <= x <= lx + 3 && ly <= y <= ly + 3 && lz <= z <= lz + 3;

f[{x_, y_, z_}, {lx_, ly_, lz_}] := Break[] /; True;

Timing[Table[s = RandomReal[{0, 3}, 3]; (*sphere center random*)
   sphereRadius = Min[Union[s, 3 - s]]; (*max radius inside cuboid *)
   NIntegrate[(f[{x, y, z} - s, -s] /.  (*integrate in spherical coords *)
       {x -> r Cos@th Sin@phi, 
        y -> r Sin@th Sin@phi, 
        z -> r Cos@phi}) r^2 Sin@phi,
       {r, 0, sphereRadius}, {th, 0, 2 Pi}, {phi, 0, Pi}], 
         {10000}]][[1]]  

Clear@f;
（*将长方体定义为密度函数*）
iP=整数部分；
f[{x_u，y_u，z_o}，{lx_o，ly_o，lz_o}]：=iP[x-lx]+iP[y-ly]+iP[z-lz]/；
lx“小于半径”应为“小于半径”。使用“than”进行比较，“then”表示时间序列。如果立方体是同源的……只需将立方体的质量相加。如果立方体不是均匀的，让我们看看密度公式。你不需要CoM来计算质量。我认为这不是一个真正的问题，除非指定了立方体的密度。我认为你最好能问这个问题，首先澄清立方体的密度是否均匀，还有你所说的“内接”——我想你的意思是，球体内接了由27个立方体组成的立方体，但这只是一个猜测。如果这两个都是真的，你不需要数值积分，只要微积分。@AakashM:你的猜测是正确的。每个小立方体都由一个均匀的密度来描述，但与相邻的小立方体不同。通过“内接者”，我试图描述球体在一组3x3立方体中的位置。球体可能在集合空间的某个地方。这就是我尝试数值积分的原因，因为球体的方程是已知的。在我看来，我所需要的只是一种计算球体下方体积的方法，它属于每个立方体。