Geometry 如何确定到与切线垂直的圆弧上的点的距离？_Geometry

Geometry 如何确定到与切线垂直的圆弧上的点的距离？

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Geometry 如何确定到与切线垂直的圆弧上的点的距离？,geometry,Geometry,从下图中可以看出：绿色圆圈的半径等于B 黄线与绿色圆圈相切垂直紫线平行于绿线，垂直于黄线黄线垂直于绿线和垂直紫线紫色点位于绿色圆圈边缘的中心 A和B是已知值我意识到这些约束中有几个重叠，只是想做得更透彻一些。毕达哥拉斯定理可以提供C的值，只是为了说明我知道我们已经可以确定的东西确定D的公式/方程式是什么，其中D是相切黄线到圆弧/圆（紫色点处）的垂直距离更新用一个我现在可以形象化为John提供的答案和评论的正确表示的解决方案替换以前演示解决方案的尝试正如您提到的，C是最简

从下图中可以看出：

绿色圆圈的半径等于B
黄线与绿色圆圈相切
垂直紫线平行于绿线，垂直于黄线
黄线垂直于绿线和垂直紫线
紫色点位于绿色圆圈边缘的中心
A和B是已知值

我意识到这些约束中有几个重叠，只是想做得更透彻一些。毕达哥拉斯定理可以提供C的值，只是为了说明我知道我们已经可以确定的东西

确定D的公式/方程式是什么，其中D是相切黄线到圆弧/圆（紫色点处）的垂直距离

更新

用一个我现在可以形象化为John提供的答案和评论的正确表示的解决方案替换以前演示解决方案的尝试

正如您提到的，C是最简单的部分。然而，利用A，B，C和余弦定理，你可以算出与B（B）相反的角度：

知道了b，A和D有一个直角，你就可以算出C和D之间的角度（b’）：

假设D位于圆上，你知道从中心到D的距离是B，所以你现在有一个边为B，D和C的三角形，你知道其中的两条边和一个角。再次使用余弦定律：

B^2 = C^2 + D^2 - 2CD cos(b')

因此，在另一个步骤中，我们可以发现：

B^2 - C^2 = D^2 - 2CD cos(b') + (C cos(b'))^2 -(C cos(b'))^2 <=>
B^2 - C^2 + (C cos(b'))^2 = (D - C cos(b'))^2 <=>
sqrt(B^2 - C^2 + (C cos(b'))^2) + C cos(b') = D

B^2-C^2=D^2-2CD cos（B'）+（C cos（B'））^2-（C cos（B'））^2
B^2-C^2+（C cos（B'））^2=（D-C cos（B'））^2
sqrt（B^2-C^2+（C cos（B'））^2）+C cos（B'）=D

希望我没有在这里犯愚蠢的错误，这有助于…

正如你提到的，C是最简单的部分。然而，利用A，B，C和余弦定理，你可以算出与B（B）相反的角度：

知道了b，A和D有一个直角，你就可以算出C和D之间的角度（b’）：

假设D位于圆上，你知道从中心到D的距离是B，所以你现在有一个边为B，D和C的三角形，你知道其中的两条边和一个角。再次使用余弦定律：

B^2 = C^2 + D^2 - 2CD cos(b')

因此，在另一个步骤中，我们可以发现：

B^2 - C^2 = D^2 - 2CD cos(b') + (C cos(b'))^2 -(C cos(b'))^2 <=>
B^2 - C^2 + (C cos(b'))^2 = (D - C cos(b'))^2 <=>
sqrt(B^2 - C^2 + (C cos(b'))^2) + C cos(b') = D

B^2-C^2=D^2-2CD cos（B'）+（C cos（B'））^2-（C cos（B'））^2
B^2-C^2+（C cos（B'））^2=（D-C cos（B'））^2
sqrt（B^2-C^2+（C cos（B'））^2）+C cos（B'）=D

希望我没有犯愚蠢的错误，这有助于…

通过计算黄色线段右端点的垂直光线与圆之间的最低交点，可以找到距离D

一些符号（

轴在右侧，

轴在底部，原点在圆的中心）：

圆心：
```
P_C=（0,0）
```
垂直光线的原点：
```
po=（A，B）
```
垂直光线的方向：
```
v_d=（0，-1）
```

射线上的点满足：

p=po+tv\ud=（A，B-t）

圆上的点满足：

| p p|O| ^2=B^2

将第一个方程展开为第二个方程得到：

A^2+（B-t）^2=B^2=A^2+B^2-2bt+t^2

为

求解

t^2-2bt+a2=0

会产生

d=b2-a2>0

，因此有两种解决方案

t_1=B-sqrt（d）

，

t_2=B+sqrt（d）

（一个靠近圆的底部，另一个靠近圆的顶部）。但是

实际上给出了沿射线的距离（因为

v_d

是单位向量），所以我们要寻找的是最小的解

t_1

。因此

D=B-sqrt（B^2-A^2）

最终结果也可以从几何角度推导和/或验证（由John提供，请参阅所有相应的注释）：

D=B-B'

和

B'^2+A^2=B^2

（毕达哥拉斯位于直角三角形上，圆心和紫色点为其两个顶点，一条边位于紫色线上）.