Graph 具有NP复杂性的最长路径问题示例？

我在网上看到，寻找最长路径问题是NP完全问题

出于某种原因，我的老师告诉我这不是一个NP完全问题。 所以现在我在寻找一个例子，它表明获得最长路径所需的计算量大于多项式时间

目前为止，我只看到了它具有多项式时间复杂性的例子

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任何人都可以给我一个证明这个问题是NP完全的吗？

首先，根据你对最长路径问题的表述方式，这个问题实际上可能是NP难的，但不是NP完全的。此问题的完整版本如下所示：

给定一个图G和一个长度k，G是否有一个长度为k或更大的简单路径

这个问题被称为NP问题，其原因我将在后面详述。然而，这个密切相关的问题实际上并不是NP完整的：

给定一个图G，G中最长的简单路径是什么

第二个问题是NP-难，但不是NP-完全的。要使一个问题NP-完全，这个问题必须是一个决策问题，一个答案是布尔“是”或“否”的问题。然而，这个问题的第二个版本不是一个决策问题，因此它不可能在NP中，因此它不可能是NP完全的。你的老师说最长路径问题不是NP完整的，这完全有可能是在考虑这个问题，尽管我不能肯定

至于为什么最长路径问题是NP完全的，我们需要讨论两点：

这个问题在NP中。直觉上，有一种有效的方法来检查问题的答案是否正确

这个问题是NP难的。也就是说，有一个NP难的问题可以归结为它

对于第（1）点，直觉是，如果问题的答案是“这个图是否有长度为137或更长的简单路径？”是“是”，那么有一些简单的方法可以向某人证明这一点。给他们那条简单的路。一旦他们找到了路径，就很容易检查它是否符合要求。（现在，找到这条路可能真的很难。但一旦我们以某种方式隔离了它，就不难让人们相信它是可行的。）

对于第（2）点，一般的方法是从现有的NP难问题开始，并将其简化为我们的问题。这里，我们将从哈密顿路径问题开始，如下所示：

给定一个图G，是否有一条简单的路径通过G中的每个节点一次且恰好一次

下面是我们如何将该问题简化为最长路径问题。从图G开始。现在，问一个问题：G是否有一条长度至少为n-1的简单路径，其中n是G中的节点数？如果是这样的话，那么这个简单的路径必须访问每个节点一次，而且只访问一次，因为否则路径中没有足够的节点使其长度至少为n-1。相反地，如果没有，那么就没有哈密顿路径，因为任何哈密顿路径都符合这个条件。因此，如果我们能有效地解决最长路径问题，我们就能有效地解决哈密顿路径问题。由于哈密顿路径问题是NP难的，所以最长路径问题也是NP难的

现在，这个问题是NP完全的并不意味着它没有多项式时间解。P与NP的对比问题仍然没有解决，而且不知道P=NP还是P≠ NP我们不能说最长路径问题是否有多项式时间算法。我们能说的是，没有已知的算法是多项式时间运行的（你提到过一些网站声称他们有多项式时间算法来解决这个问题，但这听起来并不正确；如果是这样的话，任何发现该算法的人都是百万富翁）

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现在，你可以问一个后续问题：为什么哈密顿路径问题NP-难？证明这一点的通常方法是从3SAT开始，并进行巧妙的、基于小工具的简化。在这里探讨这一点太长了，但大多数介绍理论的教科书（包括Sipser的著名教科书）在解释这一点上做得很好。

这是一个声称运行时间是多项式的网站。这篇文章假设图没有循环，也就是说，图是一个森林。在那个特定的情况下，这个问题有一个多项式时间的解决方案，但对于一般的图，除非P=NP，否则情况就不是这样了。非常感谢much@templatetypedef+我喜欢这个自信的答案；）