Haskell 在存在类型运算符的情况下实现嵌套/递归数据类型

我一直在按照Pierce的类型和编程语言在Rust中实现System F-omega，我正在寻找使用iso recursive

fold

/

unfold

操作符向我的实现中添加递归类型的指导。我已经添加了sum、product、record、existential和universal类型

在SystemF（w/o类型运算符）中，我发现这相对简单，我只是让访问者在解析后通过AST，在案例分析或类型构造期间执行折叠/展开同构

对于System F omega，由于在类型级别存在lambda抽象，因此情况稍微复杂一些。例如（使用标准的lambda-calc/haskell-ish语法），让我们假设我想要定义一个参数化的

列表

数据类型

datatype List a = Cons a (List a) | Nil

这可以在我们的结石中编码为（省略*种）：

但是，当我们试图展开值时，这就有问题了，因为引入了一个新的抽象，试图再次绑定

a

。这似乎是可行的，只要我们将A型混凝土储存在某个地方

或者我们可以将其“lambda”放到：

type ListF = ΛX. ΛA. Cons (A, X) | Nil
type List  = ΛA. μ (ListF A)

lambda删除对于这样的简单递归类型非常有效，而且实现起来也很简单，我可以设想一种自动生成

ListF

类型的方法。但我有一种烦躁的感觉，这件事有点不对劲

我一直试图阅读有关这方面的文献（Mendler风格的迭代，Andreas Abel，Ralph Matthes，Tarmo Uustalu，“高阶和嵌套数据类型的迭代和协同迭代方案”，等等），但其中一些内容有点让我不知所措，我不知道如何以具体的方式实际实现它。如有任何建议，将不胜感激

List = μ ΛX. ΛA. Cons A (X A) | Nil
-- μF unfolds to F(μF)
= (ΛX. ΛA. Cons A (X A) | Nil) (μ ΛX. ΛA. Cons A (X A) | Nil)
-- substitute *correctly*
= ΛA. Cons A ((μ ΛX. ΛA. Cons A (X A) | Nil) A) | Nil
--                                           ^ you dropped this!
-- folding back
List = ΛA. Cons A (List A) | Nil

A

不需要“存储”在类型本身以外的任何位置。您在不应删除包含它的应用程序时删除了它。注意你的展开是不友善的。顶级

Cons

的第二个字段具有种类

*=>*

，但这是不对的。但是原作的种类很好，所以展开（应该保留种类）一定出了问题

“Lambda下降”很好，但并不总是可能的。考虑

data Binary a = Leaf a | Branch (Binary (a, a))

对于某些自然的

n

，它精确地包含

2^n

a

s。这种类型是不规则递归的，不能用

μ：：（*=>*）=>*

表示为

List

can

type Binary = μ ΛX. ΛA. Leaf A | Branch (X (A, A))

---

我不确定我是否看到了mu的抽象化问题。在第一个示例中，

列表

应展开为

Cons A（（μ…）A）| Nil

，而不是

Cons A（μ…）Nil

（即μ应应用于A）。这可能是混乱的根源吗？这无疑会使类型检查变得困难，但这似乎不是你关心的问题，是吗？当我从代码中翻译它时，这只是一个拼写错误，谢谢你抓住了它。啊，这是一个拼写错误，谢谢你抓住了它。我保证我理解替换是如何工作的，并让它在代码中工作：）。即使有正确的替换，它也不是格式良好的，因为您不能将递归类型应用于具体类型，而只能应用于类型抽象。让我们将

Nat

应用到正确替换的

List

类型：

List=Cons-Nat（（μ∧X.A.Cons-A（xa）| Nil）Nat）| Nil

。Nat不能替换为A的内部出现，因此我们必须将

Nat

存储在某个地方，以便下次我们需要折叠时应用它。我相信，即使您要修改键入规则，以便在类型检查期间执行展开同构（以便您可以计算

（μ∧X.A.Cons A（X A））| Nil）Nat

），您将在一个无限循环中结束，因为您正在不断引入一个新的类型抽象

λa.

。这不正确吗？为什么需要在中替换

Nat

？只需离开应用程序，让折叠操作符的类型来处理它<代码>fold1_F_A：：F（μF）A->μF A，特别是，

fold1_（λX.A.Cons A（xa）Nil）：（Cons Nat（（μ∧X.A.Cons A（xa）Nil）Nat）->（μ∧X.Cons A（xa）Nil）Nat）

。我原以为那是另一条路线。Andreas Abel的博士论文“高阶类型的多态Lambda演算”也在一定程度上涵盖了这一点，第3.5节和第4节。我认为你描述的路线（以及diss.也描述的路线）是我最终可能使用的路线。

type Binary = μ ΛX. ΛA. Leaf A | Branch (X (A, A))