Haskell 在Ed Kmett'；s递归方案包

在Ed Kmett的

递归方案

包中，有三个声明：

newtype Fix f = Fix (f (Fix f))

newtype Mu f = Mu (forall a. (f a -> a) -> a)

data Nu f where 
  Nu :: (a -> f a) -> a -> Nu f

---

这三种数据类型之间的区别是什么？

Mu

将递归类型表示为其折叠，而

Nu

将其表示为其展开。在Haskell中，这些是同构的，并且是表示同一类型的不同方式。如果假设Haskell没有任意递归，那么这些类型之间的区别就变得更有趣了：

Mu f

是

f

的最小（初始）不动点，

Nu f

是其最大（终端）不动点

f

的不动点是

T

类型，是

T

和

ft

之间的同构，即一对逆函数

in:：ft->T

，

out:：T->ft

。类型

Fix

只是使用Haskell内置的类型递归直接声明同构。但是您可以为

Mu

和

Nu

实现in/out

举个具体的例子，假设您不能编写递归值。

Mu的居民可能

，即价值观

：：对于所有r。（可能是r->r）->r

，是自然的，{0，1，2，…}；

Nu的居民可能

，即值

：：存在于x。（x，x->Maybe x）

，是自然数{0，1，2。。。，∞}. 想想这些类型的可能值，看看为什么

Nu可能有一个额外的居住者

如果您想对这些类型有一些直觉，那么在不递归的情况下实现以下内容（大致按照难度的增加顺序）可能是一个有趣的练习：


zeroMu:：Mu Maybe
，
succMu:：Mu Maybe->Mu Maybe
zeroNu:：Nu Maybe
，
succNu:：Nu Maybe->Nu Maybe
，
inftyNu:：Nu Maybe
muTofix:：Mu f->Fix f
，
fixToNu:：Fix f->Nu f
inMu:：f（muf）->muf
，
outMu:：muf->f（muf）
inNu:：f（Nu-f）->Nu-f
，
outNu:：Nu-f->f（Nu-f）

您也可以尝试实现这些，但它们需要递归：


nuToFix:：Nu f->Fix f
，
fixToMu:：Fix f->Mu f

Mu f
是最小的固定点，而
Nu f
是最大的固定点，因此编写函数
：：Mu f->Nu f
非常容易，但编写函数
：：Nu f->Mu f
很难，就像逆流而上一样

（有一次我想对这些类型写一个更详细的解释，但对于这种格式来说可能有点太长了。）
我不知道太多的理论，但我认为对于更多的证明语言，
Mu
是最小的不动点，
Nu
是最大的不动点。在Haskell中，这三者应该是等价的（我相信）。请注意，对于
Mu
和
Nu
来说，实现
cata
和
ana
非常容易。尝试解决这个问题是一个很好的解释，谢谢！是否有更详细的来源（文章/论文/书籍）来解释它？例如，术语级修复点的类比以及为什么Nu（作为其折叠的递归类型的表示）是类型级别上的最小不动点。LFP和初始代数之间以及GFP和终端余代数之间也存在着重要的联系。我肯定我遗漏了一些东西，但
Nu可能有更多的居民-至少有很多人喜欢Haskell类型检查。例如，
Nu Just[]
，
Nu Just“abcd”
，
Nu（无常数）42
似乎所有的类型都是正确的。我错了什么？等等。自然数？这是一件事吗？谢尔盖·切雷帕诺夫：我不知道一件事，不过这是用参数证明初始性的。初始代数和初始不动点之间的联系有时被称为兰贝克引理。B.梅塔：与id:：for的方式相同所有a.a->a都无法区分不同的输入，外部世界无法区分Nu Just[]和Nu Just 0。paulotorrens：这至少是这种类型的惯用名称，自然的一点压缩，因此。感谢有趣的练习！如果有人感兴趣，我将我的答案上传到这里：