Haskell 支持（多）子类型化/子类化的定理证明器/证明助手

简而言之，我正在寻找一个定理证明器，它的底层逻辑支持多个子类型/子类型化机制（我尝试使用Isabelle，但它似乎没有为子类型提供一流的支持）

我想定义几个类型，其中一些是其他类型的子类/子类型。此外，每个类型可能是多个类型的子类型。例如：

Type A
Type B
Type C
Type E
Type F

C is subtype of A
C is also subtype of B
E and F are subtypes of B

  record Monoid (A : Set) : Set where
    constructor monoid
    field
      z   : A
      m+  : A -> A -> A
      xz  : (x : A) -> m+ x z == x
      zx  : (x : A) -> m+ z x == x
      assoc : (x : A) -> (y : A) -> (z : A) -> m+ (m+ x y) z == m+ x (m+ y z)
  open Monoid public

附言： 我再次编辑这个问题是为了更具体（因为有人抱怨这是一个主题！）：我正在寻找一个定理证明者/证明帮助，我可以用一种直接的方式定义上面的结构（而不是使用变通方法，因为这里有一些值得尊敬的答案很好地描述了它）。如果我把这些类型当作类，那么上面的子类型可以是<强> > < <强> > C++！因此，我正在寻找一个正式的系统/工具，我可以在那里定义这样一个子类型结构，我可以推理

---

非常感谢在

agda

中有很多方法可以实现这一点

• 将与一个“类型”相关的功能分组到

  record

• 为所需类型构造此类

  记录的实例

• 把记录传给需要的证据

例如：

Type A
Type B
Type C
Type E
Type F

C is subtype of A
C is also subtype of B
E and F are subtypes of B

  record Monoid (A : Set) : Set where
    constructor monoid
    field
      z   : A
      m+  : A -> A -> A
      xz  : (x : A) -> m+ x z == x
      zx  : (x : A) -> m+ z x == x
      assoc : (x : A) -> (y : A) -> (z : A) -> m+ (m+ x y) z == m+ x (m+ y z)
  open Monoid public

---

现在，

list is monoid=monoid Nil（++）引理append Nil引理Nil append引理append assoc

实例化（证明）一个

list

是一个

monoid

（给出了

Nil

是一个中性元素的证明和一个关联性证明）。

你包括了'isabelle'标记，碰巧根据，伊莎贝尔提供了一种形式的子类型，“强制子类型”，尽管正如安德烈亚斯·洛赫比勒所解释的，伊莎贝尔并没有你想要的（以及其他人想要的）子类型

然而，你说的是模糊的概括性，所以我很容易提供一个符合你的5种类型要求的人为的例子。虽然这是人为的，但正如我在下面解释的那样，这并不是毫无意义的

(*The 5 types.*)
  datatype tA = tA_con int rat real
  type_synonym tB = "(nat * int)"
  type_synonym tC = int
  type_synonym tE = rat
  type_synonym tF = real

(*The small amount of code required to automatically coerce from tC to tB.*)
  fun coerce_C_to_B :: "tC => tB" where "coerce_C_to_B i = (0, i)"
  declare [[coercion coerce_C_to_B]]

(*I can use type tC anywhere I can use type tB.*)
  term "(2::tC)::tB"
  value "(2::tC)::tB"

在上面的示例中，可以看到类型

tC

、

tE

和

tF

自然且容易地被强制为类型

tA

或

tB

这种类型的强制在伊莎贝尔身上做得相当多。例如，类型

nat

用于定义

int

，而

int

用于定义

rat

。因此，

nat

会自动强制为

int

，尽管

int

不会强制为

rat

Wrap I（您没有使用过规范HOL）：

• 在前面的问题示例中，您一直在使用

  typedecl

  引入新类型，而这通常并不反映人们如何定义新类型。
  • 用

    typedecl

    定义的类型几乎总是基本的和公理化的，例如在Nat.thy中用

    ind

  • 请参见此处：isabelle.in.tum.de/repos/isabelle/file/8f4a332500e4/src/HOL/Nat.thy#l21
• 关键字

  datatype\u new

  是在Isabelle/HOL中定义新类型的主要自动方法之一。

  • datatype\u new

    （和

    datatype

    ）的部分功能是用于定义递归类型，以及与

    fun

    一起使用，例如与模式匹配
  • 与其他证明助手相比，我假设

    datatype\u new

    的新功能并非微不足道。例如，类型和ZFC集之间的一个区别在于ZFC集可以嵌套任意深。现在，使用

    datatype\u new

    ，可以定义一种可以嵌套任意深度的可数集或有限集
• 您可以使用标准类型（如元组、列表和记录）来定义新类型，然后可以将其与强制一起使用，如上面的示例所示

Wrap II（但是，是的，那会很好）： 我本可以继续上面的列表，但我从列表中分离出另外两个关键字来定义新类型，

typedef

和

quotient\u type

我把这两个分开是因为，现在，我们进入了你抱怨的领域，伊莎贝尔/荷尔的逻辑在很多时候都不容易定义类型/子类型关系

我知道的不多，现在我知道我应该只使用

typedef

作为最后手段。它实际上在HOL源代码中使用了很多，但是，开发人员随后必须做大量工作，使用它定义的类型易于使用，例如使用

fset

Wrap III（然而，在这个不完美的世界中，没有一个是完美的）： 您列出了可能拥有最大市场份额的3个证明助手，Coq、Isabelle和Agda

使用证明助手，我们定义您的优先级，进行研究，然后选择一个，但这与编程语言类似。我们不会和他们中的任何一个一起得到一切

对我来说，数学语法和结构化证明非常重要。伊莎贝尔似乎足够强大，所以我选择了它。当然，这不是一个完美的世界

Wrap IV（Haskell、Isabelle和type类）： 事实上，Isabelle确实有一种非常强大的子类化形式，“类型类”

嗯，它很强大，但也有局限性，因为在定义类型类时只能使用一个类型变量

如果您查看Groups.thy，您将看到一个又一个类的介绍，以创建类的层次结构

• isabelle.in.tum.de/repos/isabelle/file/8f4a332500e4/src/HOL/Groups.thy

您还包括“haskell”标签。Isabelle/HOL的函数式编程属性及其

数据类型和类型类有助于将Isabelle/HOL的使用与Haskell的使用联系起来，Isabelle代码生成器生成