将术语解释为Coq中的类型_Coq

将术语解释为Coq中的类型

coq

将术语解释为Coq中的类型,coq,Coq,我正在从自然自下而上构建整数，并尝试直接应用态射重写，而不是将其添加为setoid态射，因为在我的情况下，这样做很难且不自然，但测试用例失败，出现以下错误： The term "x = x" has type "Prop" while it is expected to have type "x = x". The term "nat" has type "Set" while it is expected to have type "nat". 这也是由以下MRE引发的： Require

我正在从自然自下而上构建整数，并尝试直接应用态射重写，而不是将其添加为setoid态射，因为在我的情况下，这样做很难且不自然，但测试用例失败，出现以下错误：

The term "x = x" has type "Prop" while it is expected to have type "x = x".

The term "nat" has type "Set" while it is expected to have type "nat".

这也是由以下MRE引发的：

Require Import Setoid.

(* Custom natural Set *)
Parameter CNat : Set.

(* Addition *) 
Parameter CAdd : CNat -> CNat -> CNat. 
Infix "±" := CAdd (at level 50, left associativity).

(* Addition Morphism *)
Axiom cnat_add_morphism : 
  forall (x x' : CNat), x = x' ->
  forall (y y' : CNat), y = y' -> 
    x ± y = x' ± y'.

(* Test Example *)
Example cnat_add_inc : 
  forall (x y c : CNat), x = y -> x±c = y±c.
Proof.
  intros x y c CH.
  rewrite (@cnat_add_morphism x x (x=x) c c (c=c)). (* #Error *)

可以告诉

cnat_add_morphism

（在我的代码中，这是一个定理而不是公理）将术语

xαx

和

cαc

解释为一种类型以使morphism正常工作吗，或者使用另一种方法来应用手动态射重写，而不是将其添加为setoid？

您遇到的第一个问题是，要重写的术语类型不正确：

cnat_add_morphism x x (x¦x) c c (c¦c)

你有

cnat_add_morphism x x : x¦x -> forall y y', y¦y' -> x ± y ¦ x ± y'

因此，您需要提供

xαx

的证明，但您提供的是

xαx

本身。实际上，您需要在系统中添加自反性的证明。差不多

Parameter CRefl : forall (x : CNat), x¦x.

然后你可以证明你的引理

Example cnat_add_inc : 
  forall (x y c : CNat), 
    x¦y -> 
    x ± c ¦ y ± c.
Proof.
  intros x y c CH.
  apply cnat_add_morphism.
  - assumption.
  - apply CRefl.
Qed.

您遇到的第一个问题是，您要重写的术语没有正确键入：

cnat_add_morphism x x (x¦x) c c (c¦c)

你有

cnat_add_morphism x x : x¦x -> forall y y', y¦y' -> x ± y ¦ x ± y'

因此，您需要提供

xαx

的证明，但您提供的是

xαx

本身。实际上，您需要在系统中添加自反性的证明。差不多

Parameter CRefl : forall (x : CNat), x¦x.

然后你可以证明你的引理

Example cnat_add_inc : 
  forall (x y c : CNat), 
    x¦y -> 
    x ± c ¦ y ± c.
Proof.
  intros x y c CH.
  apply cnat_add_morphism.
  - assumption.
  - apply CRefl.
Qed.

这里有几个问题

首先，该错误意味着您试图给出一个命题，而不是该命题的证明。在Coq中，证明是它们所证明的命题类型的对象。例如，

对于all x:CNat，x¦x

是一个类型，您必须构建该类型的对象以确保该类型为真。这就像你有一个函数

f:nat->nat

，然后你写

f nat

，你会得到以下错误：

The term "x = x" has type "Prop" while it is expected to have type "x = x".

The term "nat" has type "Set" while it is expected to have type "nat".

您收到的错误与此完全相同。因此，您需要提供一个类型为“xаx”的对象，即保证命题

xаx

为真的证明。因此，您可以使用

ceq\u自反性

公理。术语

（ceq_自反性x）

的类型为

xαx

，您可以使用它来代替

xαx

的错误用法

(cnat_add_morphism x x (ceq_reflexivity x))

第二个，你需要应用引理，而不是重写引理，并使用假设而不是

xαx

（只使用x和y而不是x）