Isabelle 归纳数字证明：对于k>；=10的确，2^k>；k^3

我试图证明一些我认为相对简单的东西

(k≥10 ⟹ 2^(k::nat) > (k::nat)^3)

然而，我陷入困境，不知道如何进步

lemma "(k≥10 ⟹ 2^(k::nat) > (k::nat)^3)"
proof (induction k)
  case 0
  then show ?case by simp
next
  case (Suc k)
  assume "10 ≤ k ⟹ k ^ 3 < 2 ^ k"
  assume "10 ≤ Suc k"
  show "(Suc k) ^ 3 < 2 ^( Suc k)"
  apply (simp add: algebra_simps)
  then show ?case sorry
qed

引理”（k≥10⟹ 2^（k：：nat）>（k：：nat）^3“
证明（归纳法k）
案例0
然后按simp显示
下一个
案例（Suc k）
假设“10≤ K⟹ k^3<2^k”
假设“10≤ Suc k“
显示“（Suc k）^3<2^（Suc k）”
应用（simp添加：代数\u simps）
那就表演？对不起
量化宽松

对于代数证明，诀窍是准确识别简化步骤，然后

找到定理

搜索相关规则。代数simp集合不包含积极的简化规则，可能是因为过度简化可能会使目标无法实现。（有人可以添加更多理由）

---

在这种特殊情况下，您必须假设

10≤ k

使归纳假设起作用。您可以通过

case_tac“10轻松做到这一点≤ k“

，然后通过

monoid\u mult\u class.power3\u eq\u cube

和

lesuc\u ex

重写。对于

-10≤ k

，您可以使用

不少于

来证明目标。对于代数证明，诀窍是准确识别简化步骤，然后

查找定理

来搜索相关规则。代数simp集合不包含积极的简化规则，可能是因为过度简化可能会使目标无法实现。（有人可以添加更多理由）

---

在这种特殊情况下，您必须假设

10≤ k

使归纳假设起作用。您可以通过

case_tac“10轻松做到这一点≤ k“

，然后通过

monoid\u mult\u class.power3\u eq\u cube

和

lesuc\u ex

重写。对于

-10≤ k

，你可以用

不少于

来证明目标。一个好的归纳规则可以省去很多麻烦。您希望以

10

开始归纳，而不是

0

，那么是否有更好的归纳规则？使用

find_theorems name:ind name:Nat

我找到了这个

 Nat.dec_induct: ?i ≤ ?j ⟹ ?P ?i ⟹ (⋀n. ?i ≤ n ⟹ n < ?j ⟹ ?P n ⟹ ?P (Suc n)) ⟹ ?P ?j

Nat.dec\u导入：？i≤ ?J⟹ ?P？i⟹ (⋀n、 ？我≤ N⟹ n<？j⟹ ?P n⟹ ?P（Suc n））⟹ ?P？j

从现在起，这是简单的等式推理，我能够一步一步地遵循证明：

lemma 
  assumes "k≥10"
  shows "2^(k::nat) > (k::nat)^3"
using assms
proof(induction rule: Nat.dec_induct)
  case base show ?case by simp
next
  case (step n)
    note power2_eq_square[simp] power3_eq_cube[simp] ring_distribs[simp]
    have "Suc n ^ 3 = 1 + 3*n + 3*n^2 + n^3" by simp
    also have "… < 51*n + 3*n + 3*n^2 + n^3" using `n ≥ 10` by simp
    also have "… = 54*n + 3*n^2 + n^3" by simp
    also have "… < 6*n^2 + 3*n^2 + n^3" using `n ≥ 10` by simp
    also have "… = 9*n^2 + n^3" by simp
    also have "… < n^3 + n^3" using `n ≥ 10` by simp
    also have "… = 2 * n^3" by simp
    also have "… < 2 * 2^n" using `n ^ 3 < 2 ^ n` by simp
    also have "… = 2^(Suc n)" by simp
    finally show ?case.
qed

引理
假设“k”≥10"
显示“2^（k:：nat）>（k:：nat）^3”
使用ASSM
证明（归纳规则：自然归纳）
案例库展示？按simp进行案例展示
下一个
案例（步骤n）
注：power2_eq_square[simp]power3_eq_cube[simp]环分布[simp]
由simp生成“Suc n^3=1+3*n+3*n^2+n^3”
也可以使用'n'使“…<51*n+3*n+3*n^2+n^3”≥ 10 `由simp提供
还有simp的“…=54*n+3*n^2+n^3”
还可以使用'n'使“…<6*n^2+3*n^2+n^3”≥ 10 `由simp提供
还有simp的“…=9*n^2+n^3”
还可以使用'n'使“…

一条好的归纳规则可以省去很多麻烦。您希望以

10

开始归纳，而不是

0

，那么是否有更好的归纳规则？使用

find_theorems name:ind name:Nat

我找到了这个

 Nat.dec_induct: ?i ≤ ?j ⟹ ?P ?i ⟹ (⋀n. ?i ≤ n ⟹ n < ?j ⟹ ?P n ⟹ ?P (Suc n)) ⟹ ?P ?j

Nat.dec\u导入：？i≤ ?J⟹ ?P？i⟹ (⋀n、 ？我≤ N⟹ n<？j⟹ ?P n⟹ ?P（Suc n））⟹ ?P？j

从现在起，这是简单的等式推理，我能够一步一步地遵循证明：

lemma 
  assumes "k≥10"
  shows "2^(k::nat) > (k::nat)^3"
using assms
proof(induction rule: Nat.dec_induct)
  case base show ?case by simp
next
  case (step n)
    note power2_eq_square[simp] power3_eq_cube[simp] ring_distribs[simp]
    have "Suc n ^ 3 = 1 + 3*n + 3*n^2 + n^3" by simp
    also have "… < 51*n + 3*n + 3*n^2 + n^3" using `n ≥ 10` by simp
    also have "… = 54*n + 3*n^2 + n^3" by simp
    also have "… < 6*n^2 + 3*n^2 + n^3" using `n ≥ 10` by simp
    also have "… = 9*n^2 + n^3" by simp
    also have "… < n^3 + n^3" using `n ≥ 10` by simp
    also have "… = 2 * n^3" by simp
    also have "… < 2 * 2^n" using `n ^ 3 < 2 ^ n` by simp
    also have "… = 2^(Suc n)" by simp
    finally show ?case.
qed

引理
假设“k”≥10"
显示“2^（k:：nat）>（k:：nat）^3”
使用ASSM
证明（归纳规则：自然归纳）
案例库展示？按simp进行案例展示
下一个
案例（步骤n）
注：power2_eq_square[simp]power3_eq_cube[simp]环分布[simp]
由simp生成“Suc n^3=1+3*n+3*n^2+n^3”
也可以使用'n'使“…<51*n+3*n+3*n^2+n^3”≥ 10 `由simp提供
还有simp的“…=54*n+3*n^2+n^3”
还可以使用'n'使“…<6*n^2+3*n^2+n^3”≥ 10 `由simp提供
还有simp的“…=9*n^2+n^3”
还可以使用'n'使“…

Hi Joachim，感谢您描述此过程！嗨，Joachim，谢谢你描述这个过程！