证明两个绑定在名义Isabelle中相等

考虑以下数据类型，这些数据类型在Nominal Isabelle中具有绑定：

theory Example
  imports "Nominal2.Nominal2" 
begin

atom_decl vrs

nominal_datatype ty = 
    Tvar   "vrs"
  | Arrow x::vrs T::"ty" binds x in T

nominal_datatype trm = 
    Var   "vrs"
  | Abs   x::"vrs" t::"trm"  binds x in t 

inductive
  typing :: "trm ⇒ ty ⇒ bool" ("_ , _" [60,60] 60) 
where
 T_Abs[intro]: "(Abs x t) , (Arrow x T)"

equivariance typing
nominal_inductive typing done 

lemma 
  assumes "(Abs x t), (Arrow y T)"
  shows "x = y"
  using assms 

我想证明关系中出现的两个绑定是相等的。我认为Isabelle用户可以通过两种方式提供帮助：

如果你认识伊莎贝尔，有可能这样做吗

否则，对于助手来说，规则T_Abs中出现的两个x是相等的，还是具有不同身份的绑定变量

如果你认识伊莎贝尔，有可能这样做吗

不幸的是，不可能证明你试图证明的定理。下面是一个反例（证据是

Sledgehammer

ed）：

否则，规则T_Abs中出现的两个x是否等于 助手或者它们是一种不同类型的绑定变量 身份

---

我相信你的思路是正确的，希望上面的例子能澄清你可能遇到的任何困惑。通常，您可以将

Abs x t1=Abs y t2

的含义解释为

（λx.t1）

和

（λy.t2）

的α等价物。当然，

（λx.t1）

和

（λy.t2）

可能是α等价的，而

x

和

y

是相等的。

我试图证明空白。然而，很难找到Abs或Repr的定理，因为我不知道它们代表什么特征，商类型？我认为命名Abs_vrs使我无法找到与之相关的实际定理。@Rodrigo所说的“试图证明”，你指的是任何证明还是规范证明？正如我在回答中提到的，

Sledgehammer

在这两种情况下都提供了可接受的证据（我用

Sledgehammer

的证据更新了我的回答）。Nominal的基础结构是基于商类型构建的。通过使用

查找定理“Abs\u vrs”

，您可以看到涉及常数Abs\u vrs的定理。不要忘记，在调用

nominal\u数据类型

后，您还可以立即键入

print\u定理

。如果您还有其他问题，请告诉我，但请记住，我可能无法立即答复。

theory Scratch
  imports "Nominal2.Nominal2" 
begin

atom_decl vrs

nominal_datatype ty = 
    Tvar   "vrs"
    | Arrow x::vrs T::"ty" binds x in T

nominal_datatype trm = 
    Var   "vrs"
    | Abs   x::"vrs" t::"trm"  binds x in t 

inductive
  typing :: "trm ⇒ ty ⇒ bool" ("_ , _" [60,60] 60) 
where
 T_Abs[intro]: "(Abs x t) , (Arrow x T)"

equivariance typing
nominal_inductive typing . 

abbreviation s where "s ≡ Sort ''Scratch.vrs'' []"
abbreviation v where "v n ≡ Abs_vrs (Atom s n)"

lemma neq: "Abs (v 1) (Var (v 0)), Arrow (v (Suc (Suc 0))) (Tvar (v 0))"
  (is "?a, ?b")
proof-
  have a_def: "Abs (v 1) (Var (v 0)) = Abs (v (Suc (Suc 0))) (Var (v 0))"
    (*Sledgehammered*)
    by simp (smt Abs_vrs_inverse atom.inject flip_at_base_simps(3) fresh_PairD(2) 
        fresh_at_base(2) mem_Collect_eq nat.distinct(1) sort_of.simps trm.fresh(1))
  from typing.simps[of ?a ?b, unfolded this, THEN iffD2] have
    "Abs (v (Suc (Suc 0))) (Var (v 0)) , Arrow (v (Suc (Suc 0))) (Tvar (v 0))"
    by auto
  then show ?thesis unfolding a_def by clarsimp
qed

lemma "∃x y t T. x ≠ y ∧ (Abs x t), (Arrow y T)"
proof(intro exI conjI)
  show "v 1 ≠ v (Suc (Suc 0))" 
    (*Sledgehammered*)
    by (smt Abs_vrs_inverse One_nat_def atom.inject mem_Collect_eq n_not_Suc_n 
        sort_of.simps)
  show "Abs (v 1) (Var (v 0)) , Arrow (v (Suc (Suc 0))) (Tvar (v 0))"
    by (rule neq)
qed

end