Java 计算乘积a*b²；*c³。。。有效地

计算乘积的最有效方法是什么

a1 b2 c3 d4 e5

假设平方运算的成本大约是乘法的一半？操作数少于100

对于乘法时间与操作数长度的平方成正比的情况（如

java.math.biginger

）是否也有一个简单的算法

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第一个（也是唯一的）答案是完美的手术次数

有趣的是，当应用于sizable

biginger

s时，这一部分根本不重要。即使在没有任何优化的情况下计算abbccddddeeee也需要大约相同的时间

大部分时间都花在最终乘法上（

biginger

没有实现像Karatsuba、Toom–Cook或FFT这样更智能的算法，因此时间是二次的）。重要的是确保中间被乘数的大小大致相同，即给定大小大致相同的数字p、q、r、s，计算（pq）（rs）通常比（（pq）r）s快。对于几十个操作数，速度比似乎约为1:2

更新

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在Java8中，

BigInteger

中既有Karatsuba乘法，也有Toom-Cook乘法，我完全不知道这是否是最佳方法（尽管我认为它是渐近最优的），但您可以在

O（N）

乘法中完成所有操作。将

a*b^2*c^3的参数分组如下：
c*（c*b）*（c*b*a）
。在伪代码中：

result = 1
accum = 1
for i in 0 .. arguments:
  accum = accum * arg[n-i]
  result = result * accum

我认为它是渐近最优的，因为您必须使用
N-1
乘法才能将
N
输入参数相乘。
As:

由于操作数大小的乘法时间是超线性的，因此保持长操作的操作数大小相似（特别是如果唯一可用的Toom Cook是Toom-2（Karatsuba））将是有利的。如果不进行全面优化，将操作数放入队列中，允许按增加（有效）长度的顺序弹出操作数，这看起来是一个不错的选择。

此外，还有一些特殊情况：0，2的幂，一个因子（否则）“平凡”的乘法（“长乘一位数乘法”，因子长度之和为线性）。

平方运算比一般乘法更简单/更快（问题建议假设½），这将建议以下策略：


在预处理步骤中，计算按指数加权的尾随零数

如果遇到0，则结果为0
删除尾随零，放弃结果值1

如果没有剩余值，结果1
查找并合并多次出现的值
设置允许提取“最短”号码的队列。对于每一对（数字、指数），插入将相乘的因子
可选：组合“琐碎因素”（见上文）并重新插入

我不知道该怎么办。假设长度为12的因子，其中平凡因子和初始因子的长度为1，2，…，10，11，12，…，n。最佳情况下，将1+10、2+9……与12中的7个小因子组合。将最短值相加，从12中得到8的3、6、9、12
提取最短的一对因子，乘以并重新插入

一旦只有一个数字，结果就是第一步加上零

（如果因子分解很便宜，那么就必须很早进行，才能从廉价的平方中获得最大的收益。）
看起来是一个合理的面试问题。。。基本解决方案（非最优）是简单地分别计算每个成员的幂（乘法的log2（幂））并将结果相乘…有一个
O（N log（N）^2）
算法来实现这一点（其中N是最终数字的大小）。但是您需要超越java.math.biginger来实现它。操作数的类型是什么？int？@Adam：事实上，操作数是
biginger
s，但目前我不知道有多大。
biginger没有实现像Karatsuba、Toom–Cook或FFT这样更智能的算法，所以时间是二次的
java.math.BigInteger的什么实现是这个引用/应用的？看起来这个将在大约
O（N^2）
时间内运行。这对于OP.+1来说似乎已经足够好了，也就是说，它不是渐近最优的，因为它可以在
O（N log（N）^2）
中完成，尽管使用非常难以实现的算法。在他当前的伪代码就绪的情况下，它在
O（N）
时间内运行。他的代码缓存以前的乘法，因此只执行2*
n
乘法。如果
n
是输入参数的个数，@biginger

上的Sebastian乘法不是常数时间。啊，这很有意义。我不知道这是一个限制。是的，它吸引了很多人。对于java的

biginger

，它的操作数大小可以慢到

O（N^2）

。